Тема. Застосування похідної до побудови графіків функцій

План

1. Схема дослідження функції для побудови її графіка.

Схема

Приклад Побудуйте графік функції .

1. Знайти область визначення функції.

1. Область визначення: D(f) =

2. З’ясувати, чи є функція парною або непарною (чи періодичною).

2. Функція f(х) ні парна, ні непарна, оскільки і , і не періодична.

3. Знайти точки перетину графіка з осями координат (якщо їх можна знайти).

3. На осі Оу значення х = 0, тоді у = 0. На осі Ох значення у = 0: ,х² – 5х = 0, х(х - 5) = 0. Тоді х = 0, х = 5 – абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

4. Знайти похідну і критичні точки функції.

4. . Похідна існує на всій області визначення функції f(х). Отже, функція f(х) неперервна в кожній точці своєї області визначення. . При маємо х² + 8х – 20 = 0, х₁ = 2, х₂ = -10 – критичні точки.

5. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму (і значення функції в цих точках).

5. Позначимо критичні точки на області визначення і знайдемо знак похідної та характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення (див. рисунок).

Отже, функція зростає на кожному з проміжків та і спадає на проміжках та . Оскільки в критичній точці (- 10) похідна змінює знак з «+» на «-», то х = - 10 – точка максимуму, а в критичній точці 2 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х = 2 – точка мінімуму. Отже,

, тоді ;

, тоді .

6. Визначити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення і знайти асимптоти графіка функції (вертикальні, горизонтальні і похилі).

6.     При зліва , а при справа (тобто , ). Отже, пряма х = - 4 – вертикальна асимптота. Оскільки , то при , тоді , тобто пряма у = х – 9 – похила асимптота.  

7. Знайти другу похідну і дослідити функцію на опуклість і точки перегину (і значення функції в цих точках).

7. . Оскільки , то знак другої похідної може змінитися лише в точці х = -4. Одержуємо такі знаки другої похідної і відповідний характер опуклості (див. рисунок).  

8. Знайти координати додаткових точок графіка функції (якщо необхідно уточнити його поведінку).

   

9. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції.

   

Дата добавления: 2014-10-15