И методические рекомендации по ее изучению

Тема 1. Матрицы и определители

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Действия с матрицами. Транспонирование матриц. Квадратные матрицы. Определители квадратных матриц второго, третьего и n‑го порядков. Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятие минора n‑го порядка матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы — максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов).

Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами [1, §1.1].

Изучая матрицы, необходимо научиться устанавливать размеры матрицы и ее порядок (если матрица является квадратной), уметь выполнять транспонирование матриц и алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание и умножение матриц) [1, §1.2].

Следует помнить несколько особенностей, связанных с умножением матриц.

Во-первых, не всякие две матрицы можно перемножить: необходимо, чтобы количество столбцов первого множителя совпадало с количеством строк второго множителя.

Во-вторых, коммутативность умножения, свойственная числам, для матриц в общем случае не сохраняется:

В-третьих, произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Следует уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу, которое вычисляется по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков [1, §1.3].

В ряде случаев при вычислении определителей удобно использовать свойства определителя [1, §1.4]. Особое внимание студенту необходимо обратить на теорему Лапласа, позволяющую вычислять определители порядка четыре и выше [1, §1.3].

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц и уметь их вычислять. Следует помнить, что для существования матрицы обратной матрице необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной (т.е. имела отличный от нуля определитель). Для проверки правильности вычисления обратной матрицы достаточно помнить определение обратной матрицы, согласно которому должно выполняться одно из равенств или где – единичная матрица [1, §1.5].

Ранг матрицы вводится как наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы [1, §1.6].

Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 1 [1, §1.7-§1.11]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 2. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы линейных уравнений с переменными. Решение системы: а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности любой совместной системы линейных уравнений. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Базисное решение. Система линейных однородных уравнений и ее решения.

При изучении материала темы следует ознакомиться с понятием и общим видом системы линейных уравнений с неизвестными, научиться записывать такие системы в матричной форме (в виде матричного уравнения). Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными [1, §2.1].

Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы линейных уравнений с переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера [1, §2.2]. Найти решение таких систем можно одним из трех методов: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

С точки зрения практики наибольшее значение имеет метод Гаусса, имеющий по сравнению с двумя другими методами решения ряд преимуществ: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее линейно независимых уравнений и исключить «лишние» [1, §2.3].

Практический интерес в приложениях представляет случай, когда число уравнений системы меньше числа переменных () [1, §2.4]. Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на базисные (основные) и свободные (неосновные) и выделению из общего числа решений системы базисных решений, в которых все свободные (неосновные) переменные равны нулю.

Согласно теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы то есть Если (– число переменных), то система является определенной; если – неопределенной и имеет бесконечное множество решений. Заметим, что специального нахождения рангов в этом случае не требуется: достаточно применить метод Гаусса. При этом (для случая ) количество свободных переменных определяется как а количество базисных переменных равно

Особенностью однородных систем линейных уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0, 0,..., 0). Ненулевое решение такие системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных (), что равносильно равенству нулю определителя матрицы системы [1, §2.5].

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 2 [1, §2.7-§2.8]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 3. Векторные пространства

Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами. n‑мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов в n‑мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы.

Вектором называется направленный отрезок, для которого указаны начальная и конечная точки.

Необходимо изучить основные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), понятия координат, длины (модуля) вектора и скалярного произведения [1, §3.1].

Одним из основных объектов линейной алгебры является понятие линейного (векторного) пространства [1, §3.2]. Оно представляет собой множество всех плоских и пространственных векторов, для которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число.

Следует отметить, что понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы [1, §3.3]. Обратите внимание на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы всегда линейно зависимы.

Необходимо уяснить понятие базиса n-мерного пространства, представляющего совокупность его линейно независимых векторов. При этом любой вектор линейного пространства может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Следует помнить, что три пространственных (два плоских) вектора могут образовать базис, если они некомпланарны (неколлинеарны). Если же они компланарны, то есть лежат в одной плоскости (или коллинеарны, то есть лежат на одной прямой), то любая их линейная комбинация представляет собой вектор, лежащий в той же плоскости (на той же прямой). Следовательно, по таким векторам не может быть разложен другой вектор, не лежащий в той же плоскости (на той же прямой), т.е. компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного (двумерного) пространства не образуют.

Векторное пространство, как отмечено выше, представляет собой множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним понятия евклидова пространства [1, §3.5].

Скалярное произведение двух векторов можно определить двумя способами: как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как сумму произведений соответствующих координат (компонент) этих векторов [1, §3.5].

Необходимо также изучить понятия ортогонального вектора, ортогонального и ортонормированного базисов.

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 3 [1, §3.10-§3.11]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов.

Понятие оператора представляет собой естественное обобщение понятия функции. Оператором называется правило (закон), согласно которому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства При этом пишут [1, §3.6].

Оператор называется линейным, если он обладает свойствами однородности и аддитивности.

Нужно знать, что каждому линейному оператору соответствует матрица в некотором базисе (верно и обратное утверждение). С помощью этой матрицы для любого вектора можно найти его образ – вектор

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора (матрицы ), а соответствующие им числа – собственных значений оператора (матрицы ) [1, §3.7]. Необходимо знать общий вид характеристического уравнения оператора , научиться с его помощью находить собственные значения и отвечающие им собственные векторы оператора

Следует также знать, что если базис линейного оператора состоит из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду.

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 4 [1, §3.12-§3.13]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Матричная форма записи квадратичной формы. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная и знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной формы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма представляет собой сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом [1, §3.8].

Необходимо знать матричный вид записи квадратичной формы, ее канонический вид и уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это можно сделать многими способами, однако ранг квадратичной формы при этом не меняется. Необходимо также научиться приводить квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы: с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра.

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 5 [1, §3.14]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 6. Элементы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Поверхности второго порядка: эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии [1, §4.2].

Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее обобщение в n-мерном пространстве) является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.

Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и через две данные точки, а также общее уравнение прямой [1, §4.3]. Следует обратить внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой [1, §4.4].

Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из этих кривых выражается уравнением второй степени [1, §4.5]

которое определяет окружность, эллипс [1, §4.5], гиперболу или параболу [1, §4.6] в зависимости от соотношений между его коэффициентами.

Студенту надо знать нормальное уравнение окружности, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Кроме того, он должен уметь приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, используя операцию «выделения полного квадрата».

Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение плоскости в пространстве (обобщением которого, в свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n-мерном пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости [1, §4.8].

Так как направление плоскости и прямой определяются соответственно нормальным и направляющим векторами, то углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости [1, §4.8].

Студент также должен знать канонические уравнения основных поверхностей второго порядка (эллипсоидов, параболоидов и гиперболоидов) [2, §12, п. 12.9].

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 6 [1, §4.9-§4.12]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Тема 7. Многочлены и комплексные числа

Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни многочленов. Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида. Разложение правильной дроби на сумму элементарных дробей. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

С понятием многочлена и его корня студент впервые сталкивается в курсе алгебры средней школы. Тем не менее, следует обратить внимание на ряд интересных фактов, связанных с многочленами. В частности, необходимо научиться находить корни многочлена по схеме Горнера, делить многочлен на многочлен «углом». Также важное значение в теории многочленов имеет теорема Безу: число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на т. е. справедливо равенство [2, §31, п. 31.1].

Все эти факты могут оказать существенную помощь в задаче о разложении многочлена на множители. В дальнейшем умение разлагать многочлен на множители понадобится при решении задачи о разложении рациональной дроби на элементарные дроби, имеющей важное значение при интегрировании рациональных дробей [2, §31, п. 31.1].

Как известно, не всякий многочлен имеет действительные корни. Например, многочлены не имеют действительных корней. Тем не менее, существуют числа, которые являются корнями этих многочленов. Такие числа называют комплексными.

Множество ℂ комплексных чисел является более «широким» по сравнению с множеством ℝ действительных чисел. В алгебраической форме комплексное число можно записать в виде где – действительные числа, а – мнимая единица, обладающая следующим свойством: [1, §15.1].

Благодаря понятию комплексного числа можно утверждать, что всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный (основная теорема алгебры).

При изучении комплексных чисел студенту следует также ознакомиться с простейшими арифметическими операциями над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) [1, §15.1], научиться записывать комплексные числа в тригонометрической и показательной форме, находить модуль комплексного числа и аргумент комплексного числа, возводить комплексное число в целую степень и извлекать корень любой степени из комплексного числа [1, §15.2].

Для подготовки к практическим занятиям и выполнения контрольных работ рекомендуется ознакомиться с примерами решения задач по теме 7 [1, §15.3]. Там же приведены задания для самостоятельного решения.

Дата добавления: 2014-10-17