Контрольных работ. Примеры выполнения заданий

Примеры выполнения заданий

Ниже приведены ссылки на примеры решения задач из [1]-[2] (по темам), аналогичных заданиям контрольных работ №1 и №2. При необходимости примеры решения некоторых задач приводятся в настоящем пособии.

Тема	Номера задач по учебникам [1]	Номера задач по учебникам [2]
Матрицы и определители	1.4, 1.5
Системы линейных уравнений	2.1 (а, б), 2.2, 2.3, 2.4, 2.9, 2.10
Векторные пространства	См. ниже примеры 1-3
Линейные операторы	3.7, 3.84
Квадратичные формы	3.11, 3.109
Элементы аналитической геометрии	4.6, 4.7, 4.8, 4.11, 4.108 (а, б, в), 4.113	8.1
См. ниже примеры 4-6
Многочлены и комплексные числа	15.2, 15.3, 15.4	27.1, 28.1, 28.3, 31.1, 31.3, 31.4

Пример 1. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если

Решение. Имеем:

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов:

Так как то векторы и коллинеарны.

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле Тогда:

Пример 3. Найти косинус угла между векторами и если

Решение. Поскольку

по формуле угла между двумя векторами имеем: откуда следует, что

Пример 4. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , если

Решение. Запишем уравнение прямой, проходящей через три точки:

или

Раскрыв определитель (например, по правилу треугольника), отсюда несложно получить уравнение искомой плоскости:

.

Применяя далее формулу расстояния от точки до плоскости

получим

Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости, заданных уравнениями

Решение. Запишем канонические уравнения прямой в параметрическом виде:

откуда

Подставим полученные выражения переменных через параметр в уравнение плоскости и найдем значение параметра

Теперь несложно найти координаты точки пересечения

Пример 6. Даны точки и Через эти точки проведите плоскость, перпендикулярную плоскости

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку

Подставим в это уравнение координаты точки

Так как искомая плоскость проходит через точку то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точки в последнее уравнение, получим:

В силу того, что данная плоскость перпендикулярна плоскости из условия перпендикулярности двух плоскостей имеем:

Тем самым, для определения неизвестных коэффициентов и получаем систему уравнений:

Отсюда несложно найти Подставляя эти значения в уравнение искомой плоскости и сокращая на получим:

или

Варианты домашней контрольной работы

для студентов очного отделения,

обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика»

Вариант 1

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 1)

1. Решить матричное уравнение

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если

?

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Найти уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить многочлен на множители на множестве ℂ.

Вариант 2

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 2)

1. Найти линейную комбинацию матриц

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить на множестве ℝ рациональную дробь на элементарные дроби, если

Вариант 3

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 3)

1. Решить матричное уравнение

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Через точку провести плоскость, параллельную плоскости

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Найти частное от деления многочлена на многочлен если

Вариант 4

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 4)

1. Найти линейную комбинацию матриц

где

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Найти собственные значения и собственные векторы оператора заданного матрицей

А=

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Даны точки и Через эти точки проведите плоскость, перпендикулярную плоскости

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить на множестве ℝ рациональную дробь на элементарные дроби, если

Вариант 5

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 5)

1. Решить матричное уравнение

где

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если

?

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Найти уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Найти частное от деления многочлена на многочлен если

Вариант 6

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 6)

1. Найти линейную комбинацию матриц

где

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить на множестве ℝ рациональную дробь на элементарные дроби, если

Вариант 7

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 7)

1. Решить матричное уравнение

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа:

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Через точку провести плоскость, параллельную плоскости

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить многочлен на множители на множестве ℂ.

Вариант 8

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 8)

1. Найти линейную комбинацию матриц

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Найти собственные значения и собственные векторы оператора заданного матрицей

А=

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Даны точки и Через эти точки проведите плоскость, перпендикулярную плоскости

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить на множестве ℝ рациональную дробь на элементарные дроби, если

Вариант 9

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 9)

1. Решить матричное уравнение

где

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если

?

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Найти уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить многочлен на множители на множестве ℂ.

Вариант 10

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 0)

1. Найти линейную комбинацию матриц

где

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

4. Кривая второго порядка задана своим уравнением:

Привести это уравнение к каноническому виду и указать вид кривой. Сделать чертеж.

5. Через точку провести плоскость, параллельную плоскости

6. Дано комплексное число Требуется: а) возвести число в третью степень (найти б) записать для числа комплексно сопряженное число в) найти модуль числа г) найти все значения д) найти все значения аргумента числа (найти

7. Разложить на множестве ℝ рациональную дробь на элементарные дроби, если

Варианты домашних контрольных работ

для студентов заочного отделения,

обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика»

Дата добавления: 2014-10-17