Преобразование случайных процессов линейными системами

Линейная система преобразует входной случайный процесс в выходной в соответствии с (2.1), причем интеграл понимается в среднеквадратическом.

Ковариационная функция выходного процесса определяется следующим образом:

. (2.3)

Если входной процесс стационарен в широком смысле, то ковариационная функция входного сигнала зависит от разности аргументов и (2.3) переписывается в виде

. (2.4)

Выражение (2.4) определяет Ковариационную функцию выходного сигнала линейной системы как стационарной, так и нестационарной. В случае стационарной системы, функция веса которой зависит от разности аргументов, из (2.4) заменой переменных, получаем

,

т.е.

(2.5)

и выходной процесс также стационарен в широком смысле.

Выражение для энергетического спектра выходного процесса из (2.5) найдем, применяя к преобразование Фурье:

. (2.6)

Далее заменяем в (2.6) переменные по формуле

,

. (2.7)

Поскольку преобразование Фурье для весовой функции линейной системы есть ее комплексная передаточная функция (или амплитудно-фазовая частотная характеристика), то:

(2.8)

(2.9)

Учитывая (2.8), (2.9) получаем:

. (2.6)

Используя соотношение

Окончательно находим связь между энергетическими спектрами входного и выходного сигналов

. (2.11)

В формуле (2.11) является квадратом мо­дуля комплексной передаточной функции системы. Отметим, что фазовая характеристика линейной системы не оказывает никакого влияния на закон преобразования энергетического спектра сигна­ла. Кроме того, необходимо иметь в виду, что вышеприведенные формулы относятся к установившемуся процессу в системах.

Расчет ковариационной функции выходного сигнала линейной стационарной системы по формуле (2.5) на практике оказывает­ся достаточно сложным, поэтому проще решать данную задачу следующим образом.

По заданной корреляционной функции входного сигнала определяется его энергетический спектр

Затем по формуле (2.11) находится энергетический спектр выходного сигнала, а ковариационная функция выходного сигнала определяется из соотношения

(2.12)

Пример 2.2.1. Случайный процесс типа "белого" шума, имеющий, при воздействует на идеальный полосовой фильтр, имеющий амплитудно-частотную характеристи­ку (рис. 2.1)

В соответствии с формулой (2.11) энергетический спектр выходного сигнала определяется следующим образом:

По формуле (2.12) рассчитываем ковариационную функцию

(2.13)

Пример 2.2.2. Рассмотрим прохождение стационарного случайного процесса с ковариационной функцией через интегрирующую RC - цепь.

Амплитудно-частотная характеристика цепи в квадрате оп­ределяется выражением

Энергетический спектр выходного сигнала равен:

Ковариационная функция имеет вид

Пусть (входной процесс типа «белого» шума), тогда

График изображен на рис. 2.2.

Дата добавления: 2014-10-17