Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям

Вычисление определенного интеграла методом подстановки.

Основные свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3..

4..

Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) надо находить пределы интегрирования для новой переменной.

.

.

Примеры.

Вычислить определенные интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

Решение.

1. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

.

2. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

.

3. Вычислим интеграл .

Введем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной t. При получаем , при получаем .

Выразим подынтегральное выражение через t и и, перейдя к новым пределам,

получим:

.

4. Вычислим .

Приложение определенного интеграла

Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, при вычислении площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и при решении многих других прикладных задач.

Площадь S фигуры (рис. 12), ограниченной непрерывными кривыми y = f₁(x), y = f₂(x), вертикалями х = а, x = b,, вычисляется по формуле:

Рисунок 12. Площадь криволинейной трапеции.

, где f₁(x) f₂(x) при a x b

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

, .

Решение.

y=x²

Рисунок 13. Графики функций

Построим графики функций , .

Нетрудно видеть, что графики пересекаются в точках (0;0) и (1;1).

Поэтому

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) ≥ 0 и прямыми x = a, x = b (a < b), y = 0 (рис.14 а))

а)

б)

x=g(y)

y=f(x)

Рисунок 14. Тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g(y) ≥ 0 и прямыми y = a, y = b (a < b), x = 0 (рис. 14 б)), равен

.

Пример.

Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями:

y² = 9x, y = 3x.

Решение.

y²=9x

y=3x

Рисунок 15. Графики функций y² = 9x, y = 3x.

Построим графики функций y² = 9x, y = 3x (рис.15).

.

Дата добавления: 2014-10-17