Последовательность импульсов случайной амплитуды и со случайным временем прихода

Случайный фототелеграфный сигнал

Такой сигнал возникает при оптическом сканировании изображения, состоящего из элементов с двумя уровнями яркости (например, текст).

В атом случае выходной процесс будет представлять собой напряжение, принимающее всего лишь два значения (например, для белых элементов и для черных), при­чем длительность интервалов между переходами будет случайной. Одна из реализаций такого процесса изображена на рис. 1.24.

На рисунке 1.24 - упорядоченная последовательность случайных величин, распределенная по пуассоновскому закону с параметром.

В этом случае вероятность к переменной значений процесса («1» на «0» или наоборот) на интервале определится формулой

Найдем ковариационную функцию

. (1.75)

Вероятность совместного выполнения равенств и определяется тем фактом, что произошло чет­ное число изменений значений процесса (рис. 1.24), т.е. одно из взаимно несовместимых событий: равно 0, либо равно 2, либо равно 4, либо... с вероятностью. Тогда по правилу сложения вероятностей

(1.76)

Из выражения (1.76) можно заключить, что рассматрива­емый процесс стационарен, по крайней мере, в широком смысле и содержит постоянную составляющую, т.е. отличное от нуля среднее значение. График функции (1.76) изображен на рис. 1.25

Можно обобщить данный пример, допустив возможность для принимать любое количество значений, лежащих между 0 и 1 в соответствии с некоторой плотностью вероятности.

Такой сигнал будет близок к телевизионным сигналам и часто применяется для их описания.

Отметим, что корреляционная функция в этом случае описы­вается выражением, совпадающим по форме с (1.76),

Случайный процесс будем считать соответствующим следующей формуле:

где, – случайные статистически независимые амплитуда и время прихода -го импульса. Будем полагать, что плотности вероятности случайных величин и не зависят от.

Тогда ковариационная функция процесса описывается следующим выражением:

. (1.77)

Выделим из (1.77) отдельные слагаемые, для которых (их будет ровно n) и слагаемые с (их будет):

(

(1.78)

Предположим что плотность распределения равномерна в некотором интервале и будем считать, что количество импульсов за интервал времени окажется равным. Здесь имеет смысл средней скорости следования импульсов.

При получаем следующие соотношения:

. (1.79)

Интегралы в (1.79) можно преобразовать, заменив переменные интегрирования:

(1.80)

(1.81)

Процесс преобразования продемонстрируем на примере (1.80). Обозначив, тогда при, при, подставляя в (1.80) получим:

(1.83)

так как обозначения переменной интегрирования в данном случае влияют на результат.

Таким образом, получаем возможность переписать (1.79) в следующем виде:

(1.83)

Нетрудно заметить, что при сделанных предположениях о харак­тере распределения моментов появления импульсов, случайный процесс оказался стационарный в широком смысле, так как

не зависит от времени, а ковариационная функция зависит только от разности аргументов.

Предположим, что импульсы, составляющие сигнал имеют экспоненциальный характер (рис. 1.26)

(1.84)

Вычислим интегралы в (1.83):

(1.85)

Поскольку для, для,

то:

для,

для,

следовательно для любых получаем:

наконец:

Таким образом, мы видим, что для случайной последователь­ности экспоненциальных импульсов корреляционная функция имеет такой же вид, как и для фототелеграфного сигнала, хотя их реализации существенно отличаются по форме.

Это обстоятельство еще раз указывает на недостаточность корреляционной функции как характеристики для описания свойств случайного процесса.

Рассмотренный процесс часто используют для описания дробового эффекта в электронных приборах.

Дата добавления: 2014-10-17