Y ® y1, y2, … , yn

В свою чергу системи випадкових величин (х_і, у_і) незалежні, а математичні сподівання, дисперсії і кореляційні моменти будуть однакові, тобто

.

Виходячи з того, що випадкові величини х і у та система (Х,Y) підкоряються нормальному закону розподілу, а математичні очікування та дисперсії є характеристиками окремих випадкових величин Х і Y із системи (Х, Y), то згідно формул (4.20) і (4.22) маємо

; (4.43)

; (4.44)

; (4.45)

(4.46)

Незміщена та обґрунтована оцінка кореляційного моменту системи випадкових величин (х,у) визначається за формулою

. (4.47)

Статистичний коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою

, (4.48)

де m_x та m_y обчислюють за формулами

; (4.49)

. (4.50)

Коефіцієнт кореляції знаходиться в межах

-1 £ £ +1.

Якщо коефіцієнт кореляції близький до ±1, то між випадковими величинами існує прямолінійний зв’язок. Рівняння регресії визначають за формулами

,

або (4.51)

де ; - коефіцієнти регресії.

Приклад 3. Коефіцієнт К_і нитяного віддалеміра визначався на різних відстанях D_і від точки установки приладу. Обчислити числові характеристики системи випадкових величин (D, К): математичні сподівання, дисперсії та коефіцієнт кореляції. Результати експерименту наведені в табл. 4.5

Таблиця 4.5

Д(м)
К	99.0	98.5	99.5	99.0	99.5	99.6	101.0	99.9

Розв’язання. Для наочності обчислення зведемо в табл.4.6

Таблиця 4.6

D визначено в сотнях метрів

№ п/п	D	K	Di -	Ki -	(Di - )^2	(Ki - )^2	(Di -)(Ki -)
	0,2	99,0	-0,7	-0,5	0,49	0,25	+0,35
	0,4	98,5	-0,5	-1,0	0,25	1,00	+0,50
	0,6	99,5	-0,3		0,09
	0,8	99,0	-0,1	-0,5	0,01	0,25	+0,05
	1,0	99,5	+0,1		0,01
	1,2	99,6	+0,3	+0,1	0,09	0,01	+0,03
	1,4	101,0	+0,5	+1,5	0,25	2,25	+0,75
	1,6	99,9	+0,7	+0,4	0,49	0,16	+0,28
		S			1,58	3,92	+1,96

Спочатку по формулами (4.43) і (4.44) обчислюють середні арифметичні і

; .

В графах 3 і 4 таблиці 4.5 обчислюють відхилення D_i і К_і від середніх арифметичних і .

Контроль: суми відхилень повинні дорівнювати нулю, або величині, що обумовлена помилкою закруглення середніх і .

Далі в графах 5 і 6 обчислюють квадрати відхилень і їх суми: та . Це дозволяє за формулами (4.45) і (4.46) визначити дисперсії і та за формулами (4.49), (4.50) статистичні стандарти m_D і m_k

= ; = 0,46;

= ; = 0,75.

По формулі (4.47) обчислюємо кореляційний момент, а по формулі (4.48) коефіцієнт кореляції

;

.

Так як r* = 0,81, що досить близько до 1, то можна передбачити, що між величинами D і K існує прямолінійний зв’язок. Спочатку обчислимо коефіцієнт регресії

.

По формулі (4.37) рівняння регресії К по D буде

К = 99,5 + 1,32 D - 1,32 × 0,9,

або К = 1,32 D + 98,31.

По результатам обчислень можна побудувати графік регресії (рис.4.4)

Рис.4.4

Для побудови прямої регресії обчислено значення двох точок К ₁ = 98,31 при D = 0 м і К ₂ = 99,5 при D = 100 м, які наносимо на графік і проводимо через них пряму лінію.

Такий спосіб визначення оцінок невідомих параметрів називають точковим, а самі оцінки – точковими. Його недоліками є те, що точкова оцінка не збігається з величиною а_і. Це особливо видно при невеликій кількості результатів експерименту. До цього для визначення точності точкової оцінки слід знати і дисперсію

Дата добавления: 2014-10-17