Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

(8)

(9)

Свойства скалярного произведения:

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰. Þ (10)

или хотя бы один из векторов нулевой.

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором . Тогда

(11)

(10), (11) Þ (12)

(9), (11), (12) Þ (13)

Пусть - ненулевой вектор и

- углы между данным вектором и ортами координатных осей, тогда

- направляющие косинусы вектора .

Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора (¹) равна единице: cos² a + cos² b + cos² g = 1.

Пример 1.4. Векторы и образуют угол . Зная, что , ,

вычислить .

Решение: Используя свойства скалярного произведения, получаем:

.

Ответ: 92.

Пример 1.5. Дано: =4, =3, . Найти длину вектора .

Решение: По свойству 4°

.

Ответ: .

Пример 1.6. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах =(2, 1, 0) и =(0, -1, 1).

Решение: Найдем, например, косинус угла , который образуют векторы и .

Из формул (1), (2) и теоремы 5 Þ

Из формулы (9) получаем:

, где

(11) Þ

(12) Þ ,.

Так как cos a =, то a - острый угол. Следовательно, .

Ответ: .

Пример 1.7. Найти вектор , зная, что данный вектор перпендикулярен к оси О z и удовлетворяет условиям: , где .

Решение: Пусть .

Так как по условию Þ .

Учитывая условие перпендикулярности векторов, получаем систему:

Ответ: .

Дата добавления: 2014-10-22