КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае
Доказательство w Сформулированная сложная теорема включает в себя несколько теорем. Логика её доказательства может быть описана такой схемой: не зависит от формы линии (АВ) (1) (2) (3) (*) 1этап Докажем первое условие (необходимость и достаточность), используя свойства криволинейного интеграла II рода (аддитивность и зависимость от направления на линии интегрирования). Пусть (АВ)1 и (АВ)2 – это две различные, произвольно взятые, линии, соединяющие точки А и В, тогда
Таким образом, в логической схеме (*) доказан переход не зависит от формы (AB) .
2 этап Эквивалентность условий (1) и (2) в схеме (*) следует из формулы Грина . Действительно, если для всех точек некоторой области , то , где (L) – это замкнутая линия, ограничивающая область D; таким образом, в схеме (*) доказан переход (1) (2), то есть достаточность условия (2) для (1). Обратно, если при (l), то формула Грина даёт, что для любой области D, ограниченной произвольно взятым контуром l. Равенство нулю двойного интеграла по произвольно взятой области D возможно только в случае тождественного равенства нулю подынтегральной функции, следовательно для любых (x, y). Этот последний вывод можно обосновать рассуждениями от противного:
тогда по непрерывности частных производных и будет в некоторой области , причем ,и во всей области разность сохраняет свой знак (см. свойства непрерывных функций); поэтому, если взять двойной интеграл по области от функции фиксированного знака, то он никогда не получится равным нулю, что противоречит выводу из формулы Грина. Следовательно, неверным является предположение об отличии от нуля (хотя бы в одной точке) непрерывной функции, интеграл от которой равен нулю по любой области интегрирования. Следовательно, верным является вывод о равенстве нулю непрерывной функции, интеграл от которой равен нулю по любой области интегрирования.
Таким образом, в схеме (*) доказан переход (1)(2), то есть необходимость условия (2) для (1). Следовательно, показана эквивалентность условий (1) и (2): (1) (2).
3 этап Докажем эквивалентность условий (2) и (3) в схеме (*) Легко доказывается следствие (3) (2) на основании свойства смешанных частных производных второго порядка для ФНП: пусть существует функция , такая что ; так как по определению полного дифференциала ФНП имеем, что , то и и ; известно, что , если они непрерывны, поэтому , следовательно, равенство частных производных выполняется во всей области их существования и непрерывности. Переход (2) Þ (3) доказывается сложнее и, например, следующим образом. Дано, что равенство выполняется в некоторой области D итребуется доказать, что существует функция U (x, y), такая что . Так как при , то по доказанному уже условию (2) это гарантирует, что криволинейный интегралне зависит от формы линии (AB).
Вычислим криволинейный интеграл по ломаной (ACB), используя свойство его аддитивности, и получим результат, зависящий от координат конечной точки (x; y): . Вычислим, используя теорему Барроу, правило Лейбница для дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, и равенство: Для вычисления достаточно использовать только теорему Барроу: . Теперь составим полный дифференциал функции U (x, y): Таким образом, построена искомая функция и тем самым доказан переход (2)Þ(3). 3-й этап доказательства закончен. Полное доказательство теоремы завершено.v
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 851; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |