Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные свойства потенциальных полей




1. — циркуляция потенциального поля равна нулю по любому замкнутому контуру .

w Действительно, v

2. Если векторное поле задано в односвязной области D, то для его потенциальности необходимо и достаточно, чтобы его , то есть любое потенциальное поле является “безвихревым”.

 
 

Односвязная область – это такая область, граница которой может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя за пределы области.

Доказательство

wНеобходимость: если векторное поле потенциально, то есть , то его .

Достаточность: если , то все компоненты вектора равны 0, то есть , , .

Докажем, что поле является потенциальным.

Если переобозначить то получим: , , .

В этих равенствах легко узнать необходимые и достаточные условия для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , то есть , , то есть поле является потенциальным, ч.т.д.

Если вспомнить доказательство достаточных условий полного дифференциала (в двумерном случае – с помощью формулы Грина), то становится понятно, что эти условия () должны выполняться во всех точках некоторой области, которая рассматривалась как односвязная область.

Можно показать, что в случае области, которая не является односвязной, этих условий может оказаться недостаточно для восстановления однозначной функции во всей области (см. Фихненгольц, т.III, §§ 558-562, 601, 641). v

 

3. Если векторное поле потенциально, то его работа этого поля между двумя точками пространства не зависит от формы линии, которой соединяются эти точки, и равна разности значений потенциала поля в этих точках.

 

Доказательство

w

то есть работа равна разности значений потенциала и не зависит от формы перемещения v

4. Потенциал потенциального поля определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Действительно,

Найти потенциал векторного поля можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычисленного от фиксированной точки до переменной точки :

(2)

 

При этом удобно вычислять криволинейный интеграл как независящий от формы линии интегрирования, то есть по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Точки , и линия интегрирования должны оставаться в области существования этого криволинейного интеграла.

При этом координаты фиксированной точки можно положить равными конкретным числам – это упростит вычисление.

По методу своего решения задача нахождения потенциала потенциального векторного поля совпадает с задачей о восстановлении функции двух или трех переменных по ее полному дифференциалу (см. §9 данного конспекта).

 

Пример 1 (нахождение потненциала потенциального векторного поля)

Убедиться в том, что векторное поле потенциально, и найти его потенциал:

Решение

— это необходимое и достаточное условие потенциальности поля .

Вычисляем

Þ поле является потенциальным.

Ответ:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 801; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.