Радиус сходимости степенного ряда

Пусть данный степенной ряд (2): составим ряд из абсолютных величин: (3) , т.к. (3) – знакоположительный, то можно применить признак Даламбера (можно радикальный признак Каши).

Допустим, что ,

где

Возможны следующие случаи:

1) ряд сходится абсолютно, т.е. ряд (3) сходится.

2) ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости)

3) - вопрос остаётся открытым

Справедлива формула:

О. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, что степенной ряд сходится, степенной ряд расходится.

На концах интервала сходимости различные степенные ряды ведут себя по-разному. Внутри же интервала сходимости степенные ряды всегда сходятся абсолютно.

Условие распространяется на более общие ряды

Например: Определить область сходимости:

- интервал сходимости

1)

ряд расходится

2)

ряд сходится условно

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Операции почленного дифференцирования и интегрирования можно производить со степенным рядом сколько угодно раз, следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

Дата добавления: 2014-10-22