КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнение теплопроводности и постановка краевых задач
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. Уравнение теплопроводности было получено при решении задачи о распространении тепла в неком стержне с плотностью r (x), удельной теплоемкостью с (x) и коэффициентом внутренней теплопроводности k. Вывод этого уравнения базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ∆ t через малую площадку ∆ S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой , (74) где n – нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, k (x,u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u (x,t) – температура тела в точке в момент времени t. Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда k (x,u) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура u (x,t), выделим внутри тела объем W, ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающего в W через поверхность S за промежуток времени [ t 1, t 2], равно . Если F (x,t) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в W за указанный промежуток времени равно . Общее количество притекшего в W за время от t 1 до t 2 тепла можно подсчитать также и через приращение температуры: , следовательно, можно записать , (75) (при этом предполагается, что подинтегральная функция непрерывна). В силу произвольности W и промежутка времени [ t 1, t 2] из выражения (75) вытекает равенство , (76) т.к. , где ∆ - оператор Лапласа, то уравнение (76) можно записать в виде , (77) где . Уравнение (76) или (77) называются уравнением теплопроводности. Для одномерного случая при f (x,t) = 0 оно имеет вид
. (78) Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к этому уравнению присоединить начальные и граничные условия. Для одномерного процесса распределения температуры, описываемого уравнением (78) начальное условие имеет вид , (79) где - заданная функция. Кроме того, для того, чтобы узнать тепловой режим на поверхности тела S, необходимо задать граничные условия. В задачах теплопроводности граничные условия могут быть заданы различными способами, например: 1) поверхности тела задают температуру , (80) где - известная функция точки р поверхности S и времени t. Условие (80) называют граничным условием 1-го рода. 2) в каждой точке на поверхности тела задают тепловой поток , где - вектор плотности теплового потока; - единичная внешняя нормаль к поверхности тела S. По закону Фурье , следовательно, граничное условие в этом случае имеет вид , (81) где - известная функция точки р поверхности S и времени t. Условие (81) называют граничным условием 2-го рода и оно задает на поверхности S нормальную производную температуры. В случае теплоизолированной поверхности на всей поверхности S мы имеем однородное условие . 3) Граничное условие 3-го рода описывает тепловой режим на поверхности тела и задает связь между температурой u и ее нормальной производной в любой точке поверхности тела , (82) где ; - коэффициент теплообмена (теплоотдачи), зависящий от свойств среды, а в общем случае и от разности температур тела и и внешней среды u*. Формально граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода можно объединить в виде обобщенного граничного условия , (83) из которого можно получить все рассмотренные краевые условия.
Пример 13. Задачи о диффузии. Вывести уравнение диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область с границей Г, если задана плотность источников F(x,t) и диффузия происходит с поглощением (например, частицы диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом среды), причес скорость поглощения в каждой точке пространства пропорциональна плотности диффундирующего вещества.
Получить краевые условия для следующих случаев: 1) на границе области поддерживается заданная плотность; 2) граница непроницаема; 3) граница полупроницаема, причем диффузия через границу происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена. ▲ Вывод уравнения основывается на законе Нэрнста, согласно которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени через малую площадку , равно , где D(x) – коэффициент диффузии, n – нормаль к элементу , направленная в сторону перемещения вещества. Пусть - коэффициент плотности среды. Выделим некоторый объем с границей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в за промежуток времени . Количество вещества, пришедшего в через границу S, согласно закону Нэрнста равно . Количество вещества, образовавшегося в за счет источников, равно . Количество вещества в уменьшилось на величину за счет поглощения среды (q(x) – коэффициент поглощения). Поскольку приращение количества вещества в за промежуток равно также , то . В силу произвольности объема и промежутка из полученного равенства вытекает . Это и есть классическое уравнение диффузии. Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса диффузии необходимо знать начальное распределение плотности , и режим диффузии на границе области. Краевые условия для разных случаев имеют вид: 1) если на границе области поддерживается заданная плотность, то ; 2) если граница непроницаема, то ; 3) если граница полупроницаема, то , где-заданные функции; a -коэффициент проницаемости границы Г. ▲
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 958; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |