Періодичний розряд конденсатора на контур з резистором і котушкою

Граничний аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

При наступному співвідношенні параметрів контуру з конденсатора, котушки й резистора

,

де R _кр – критичний опір резистора R, корені характеристичного рівняння контуру дійсні, рівні й від’ємні:

p ₁ = p ₂ = p = - R / (2 L).

Перехідний процес виходить аперіодичним, але граничним з коливальним процесом. Перехідний струм і перехідна напруга в цьому випадку мають вигляд:

u_С = (A ₁ + A ₂ t) e^pt;

.

При початкових умовах u_С (0) = U ₀; i (0) = 0 знаходимо:

А ₁ = U ₀; A ₂ = - pU ₀.

З урахуванням знайдених постійних інтегрування одержуємо розв’язок:

Залежності i (t), u_C (t), u_L (t) такі ж, як для аперіодичного розряду.

При співвідношенні параметрів контуру із конденсатора, котушки й резистора

, тобто при

де – критичний опір кола, корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

,

де δ= R /(2 L) – коефіцієнт загасання вільної складової;

– кутова частота власних коливань контуру;

– період власних коливань.

Оскільки , то можна ввести позначення

Розв’язок однорідного диференціального рівняння (8.3) при комплексно-спряжених коренях знаходимо у вигляді (відповідно до табл. 8.1):

,

для вільної складової струму маємо

.

З урахуванням початкових умов при , , з останніх двох рівнянь знаходимо константи інтегрування:

; .

і далі

.

Запишемо перехідні напруги й струм:

;

;

де ; .

Рис. 8.15. Залежності напруг та струму при коливальному характері перехідного процесу

Залежності перехідних напруги u_С й струму i показані на рис. 8.15. Вони являють собою загасаючі синусоїди. Швидкість загасання коливань оцінюють декрементом коливань. Декремент коливання – це постійна, залежна від параметрів R, L, С и рівна відношенню амплітуд перехідних параметрів, що відстають один від одного на період коливання Т ₀, наприклад:

.

Часто користуються логарифмічним декрементом коливання:

.

У граничному випадку чисто консервативної системи (R = 0) Δ = 1 коливання в паралельно з'єднаних конденсаторі й котушці носять незатухаючий характер. Період цих коливань дається формулою Томпсона , а частота незатухаючих коливань .

Дата добавления: 2014-10-23