Упрощенное (аппроксимированное) построение замкнутой ЛАФЧХ

Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика

Амплитудно-фазочастотная характеристика замкнутой САУ

(5.14)

где A_п, A_о – АЧХ прямого канала и канала обратной связи;

j_п, j_о – ФЧХ прямого канала и канала обратной связи.

Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика замкнутой системы определяется на основании (5.15):

(5.15)

где D L, D j - ЛАФЧХ разомкнутой системы с единичной обратной связью, или поправки по амплитуде и фазе.

Логарифмическая амплитудно-фазочастотная характеристика замкнутой системы может быть построена тремя способами:

- аналитически по выражению (5.16),

- упрощенным или аппроксимированным методом, для оценки формы ЛАФЧХ,

- с помощью номограмм замыкания.

Пример построения с аналитическим методом будет показан ниже.

АФЧХ замкнутой системы (5.15) имеет вид:

.

а) Пусть в некотором диапазоне частот:

. (5.16)

Тогда единицей в знаменателе можно пренебречь, и уравнение (5.16) запишется так:

. (5.17)

При этом эквивалентная ЛАФЧХ замкнутой системы будет примерно равна:

(5.18)

б) Пусть в другом диапазоне частот:

. (5.19)

Следовательно, выражением в знаменателе можно пренебречь, и уравнение (5.16) примет вид:

. (5.20)

При этом эквивалентная ЛАФЧХ замкнутой системы будет примерно равна:

(5.21)

На основании этого можно сделать вывод, что эквивалентную замкнутую ЛАЧХ можно заменить аппроксимированной, которую проводят по наименьшей между ЛАЧХ прямого канала (L_п) и обратной канала обратной связи (–L₀)_.

в) Наибольшая погрешность такого метода будет иметь место, очевидно, в диапазоне частот, в котором A_п×A_o»1. Оценим максимальную погрешность аппроксимации. Знаменатель передаточной функции (5.16) при условии A_п×A_o»1 можно представить следующим образом:

.

Максимальное значение знаменателя в этом диапазоне частот будет равно 2 (при j =0). Следовательно, согласно (5.16) АЧХ замкнутой системы будет отличаться от АЧХ прямого канала или канала обратной связи не более, чем в два раза. В логарифмическом масштабе разница будет составлять не более 6 дБ.

5.3.4 Алгоритм построения аппроксимированной замкнутой ЛАФЧХ:

1) строятся ЛАФЧХ прямого канала L_п, j_п и ЛАФЧХ канала обратной связи L_о, j_о;

2) строятся обратные характеристики канала обратной связи –L_o, -j_о путем зеркального отражения характеристик L ₀, φ ₀ относительно горизонтальной оси lg w.

3) логарифмическая характеристика замкнутой системы строится «по низам» между L_п и -L_о;

4) фазочастотная характеристика строится по частям j_п и -j_о, в диапазонах частот, соответствующим частям ЛАЧХ, входящим в эквивалентную ЛАЧХ.

Пример построения аппроксимации будет показан ниже.

5.3.5 Построение с помощью номограммы замыкания

Из уравнения (5.14) для передаточной функции замкнутой системы с единичной обратной связью W ₁ видно, что она полностью определяется передаточной функцией разомкнутой системы W _р. Аналогично можно сказать и про логарифмические амплутудо-фазочастотные характеристики:

, (5.22)

Поправки D L и D j определяются с помощью специальных графиков – номограмм замыкания, приведенных в рекомендованной литературе [1] и в Приложении А настоящего пособия. Номограмма замыкания представляет собой зависимость параметров D L и D j, от значений ЛАФЧХ разомкнутой системы L_р и j_р. Значения ЛАЧХ разомкнутой системы L_р откладываются по оси ординат, значение ЛФЧХ разомкнутой системы j_р откладывается по оси абсцисс. По точке пересечения данных координат находятся значения D L (сплошные линии) и D j (пунктирные линии).

Если обратная связь не единичная, то замкнутая ЛАФЧХ строится с использованием номограммы замыкания и уравнения (5.15).

Алгоритм построения замкнутой ЛАФЧХ по номограмме замыкания:

1) строятся разомкнутые ЛАФЧХ L_р и j_р, как сумма логарифмических характеристик прямого канала и канала обратной связи L_п, L_о и j_п, j_о;

2) для некоторой частоты определяются значения ЛАФЧХ разомкнутой системы и откладываются по осям номограммы значения L_р и j_р;

3) находится точка с этими координатами и определяются ближайшие значения D L (сплошные линии) и D j (пунктирные линии) по линиям номограммы;

4) рассчитываются ЛАФЧХ замкнутой системы для данной частоты и откладываются на графике:

;

5) повторяются п. 2-3 для других частот.

Дата добавления: 2014-10-23