Уравнение Бернулли и его практическое применение

Уравнение неразрывностиструи.

Вязкость жидкостей и типы жидкостей. Уравнение неразрывности

При ламинарном (слоистом) течении жидкости произведение площади сечения трубки тока на скорость жидкости в этом сечении является величиной постоянной вдоль линии тока

, (72)

и - площади сечений 1 и 2 трубки тока, и - скорости частиц жидкости в этих сечениях.

В гидродинамике жидкости делятся на ньютоновские и неньютоновские. Течение ньютоновской жидкости подчиняется закону вязкости Ньютона, то есть касательное напряжение и градиент скорости линейно зависимы. Коэффициент пропорциональности между этими величинами известен как вязкость^[3][4][5]. У неньютоновской жидкости вязкость зависит от градиента скорости

Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли ^[1](не следует путать сдифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли ^[2][3] или интегралом Бернулли ^[4][5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»^[6]).

Соотношение, близкое^[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины —гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Для потока реальной вязкой жидкости следует учитывать различие в скоростях по сечению потока. В практических расчетах пользуются понятием средней скорости. При этом расчетное значение удельной кинетической энергии потока получается несколько меньше действительного. Последнее обстоятельство учитывается введением поправочного коэффициента α, определенного опытным путем.

Для ламинарного режима движения жидкости в круглых трубах α=2, для турбулентного α=1,04÷1,13.

В реальных условиях необходимо учитывать также потери напора на участке от первого до второго исследуемых сечений потока – h_пот.

Потеря напора (м) на участке складывается из потерь на трение (линейные потери) h_л и потерь на местные сопротивления h_м

.

С учетом сказанного уравнение Бернулли для потока реальной жидкости записывают в следующем виде:

.

При использовании обозначений пьезометрического h_p и скоростного h _v напоров уравнение Бeрнулли можно записать и так:

z₁ + h_p1 + h _{v 1} = z₂ + h_p2 + h _{v 2} + D H.

Энергетический смыслуравнения Бeрнулли заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии: сумма потенциальной z+h_p, кинетической v ² / 2g энергии и энергии потерь ∆ H остаётся неизменной во всех точках потока.

Геометрический смысл уравнения Бeрнулли показан на рис. 10: сумма четырёх высот z, h_p, h _v, ∆ H остаётся неизменной во всех точках потока.

Определение расхода жидкости. В длинных трубопроводах и каналах произвольных сечений измерение расхода без нарушения целостности потока может быть выполнено с помощью водомера Вентури.

Для определения расхода жидкости измеряют пьезометрические напоры в цилиндрических участках водомера Вентури и определяют их разность ∆h. Если принять h_пот=0, α ₁= α₂=1, то из уравнения Бернулли получим:

.

Решая полученное уравнение совместно с уравнением неразрывности потока, получим выражение для скорости в первом сечении

,

где f₁ и f₂ – площади соответственно первого и второго сечений.

Расход жидкости (м³/сек), протекающей через прибор, определится как произведение скорости v₁ на площадь поперечного сечения f₁:

,.

С учетом коэффициента расхода μ формула принимает вид:

.

Как правило, μ=0,96÷0,98.

Идеальная жидкость — жидкость, плотность которой не зависит от давления, а при ее движении отсутствуют силы внутреннего трения.

Линия тока — линия, в каждой точке которой касательная к ней указывает направление вектора скорости. Чем больше скорость течения жидкости, тем больше густота линий тока.

Трубка тока — часть жидкости, ограниченная линиями тока. Через каждое сечение трубки тока за 1 секунду проходит один и тот же объем: — уравнение неразрывности.

Уравнение Бернулли
, где и — давление и скорость жидкости на высоте , и — давление и скорость жидкости на высоте .

Формула Торричелли. Скорость жидкости, вытекающей из отверстия на глубине от поверхности, равна скорости, которую приобретает тело, падая с высоты :
. Формула Торричелли — следствие из уравнения Бернулли.

Дата добавления: 2014-10-23