Пара сил. Момент пари як вектор

Пара сил. Момент пари як вектор.

2.Теорема про еквівалентність пар.

3.Додавання пар. Умова рівноваги системи пар.

Теорію пар сил розробив відомий французький вчений механік і геометр Л. Пуансон (1777 – 1859).

Парою сил називається система двох паралельних сил, що мають однакові модулі й протилежні напрями (рис.1,а).

Система сил , , що утворюють пару, очевидно, не перебуває в рівновазі (ці сили не напрямлені вздовж однієї прямої). Пара сил не має рівнодійної, оскільки рівнодійна будь-якої системи сил дорівнює її головному вектору , тобто сумі цих сил, а для пари .

Площина, що проходить через лінії дії пари сил, називається площиною дії пари. Відстань d між лініями дії пари називається плечем пари.

Дія пари на тверде тіло зводиться до деякого обертального ефекту, що характеризується величиною, яку називають моментом пари. Він визначається:

1) модулем, який дорівнює добутку Fd;

2) положенням у просторі площини дії пари;

3) напрямком повороту пари в цій площині.

Таким чином, момент пари – величина векторна.

Отже, моментом пари сил називається вектор (або ), модуль якого дорівнює добутку модуля однієї із сил на її плече і який напрямлений перпендикулярно площині дії пари в той бік, звідки пара бачиться такою, що намагається повернути тіло проти ходу годинникової стрілки (рис.1,б).

Оскільки плече сили відносно точки А дорівнює d, а площина, що проходить через точку А і силу , збігається з площиною дії пари, то одночасно:

тобто момент пари дорівнює моменту однієї із сил відносно точки прикладання іншої сили.

Модуль моменту пари визначається так:

^{^}

Вектор може бути прикладений у будь-якій точці (такий вектор називається вільним). Момент пари вимірюється в ньютонметрах (Нм).

2.Теорема про еквівалентність пар

Пари називаються еквівалентними, коли вони мають однакові моменти, тобто надають тілу однаковий механічний вплив.

Теорема про еквівалентність пар. Будь-яку пару, не змінюючи її дії на тверде тіло, можна замінити іншою, еквівалентною їй.

Доведення. Нехай на тверде тіло діє пара сил , (рис. 2). Проведемо в площині дії цієї пари через довільні точки D i С дві паралельні прямі до перетину їх з лініями дії сил , у точках А та В і прикладемо сили , у цих точках. Розкладемо тепер силу по напрямах АВ і ВС на сили і , а силу – по напрямах АВ і AD на сили і . При цьому очевидно, що = –, а =–. Сили і ,як зрівноважені, можна відкинути. У результаті пара сил , буде замінена парою , з іншим плечем й іншими силами, які можна, очевидно, прикласти в точках D і C на їх лініях дії. Причому пара, може бути розміщена в площині де завгодно.

Покажемо, що пари , і , мають однакові моменти. Позначимо їх відповідно і . Тоді , а . Оскільки , то , але (оскільки , ^{^}

Отже,

= .

Із доведення маємо:

1) пару, не змінюючи її дії на тверде тіло, можна переносити куди завгодно в площині її дії;

2) у даної пари, не змінюючи її дії на тверде тіло, можна довільно змінювати модулі сил і довжину плеча, зберігаючи при цьому її момент;

3) пару, не змінюючи її дії на тверде тіло, можна перенести із даної площини в будь-яку іншу площину, паралельну даній.

3.Додавання пар. Умова рівноваги системи пар

Теорема про додавання пар сил. Система пар, що діють на абсолютно тверде тіло, еквівалентна одній парі з моментом, що дорівнює геометричній сумі моментів складових пар.

Спочатку розглянемо дві пари з моментами і , що лежать у площинах І і ІІ (рис.3).

Візьмемо на лінії перетину площин відрізок АВ=d і зобразимо пару з моментом силами , , а пару з моментом – силами , (звичайно,, ).

Рис.3

Додавши сили, прикладені в точках А і В, переконаємось, що пари , та , дійсно еквівалентні одній парі , . Визначимо момент цієї пари. Оскільки, , то або

Для двох пар теорема доведена. При цьому незаперечно, що доведення зберігається, якщо площини І і ІІ збігаються, тобто, коли пари лежать в одній площині.

Якщо ж на тіло діє система n пар з моментами , ,…, , то послідовно застосовуючи результат, здобутий для двох пар, знаходимо, що дана система пар буде дійсно еквівалентна одній парі з моментом:

Умова рівноваги системи пар. Для рівноваги системи пар, розміщених як завгодно в просторі, необхідно і достатньо, щоб дорівнювала нулю геометрична сума їх моментів (), тобто многокутник, побудований на моментах цих пар, був замкнутим.

Задача. На тверде тіло діють дві пари сил , і , , які лежать у взаємно перпендикулярних площинах (рис.4). Модуль моменту першої пари дорівнює 30 Нм, а другої – 40 Нм. Визначити результуючу пару.

Розв’язання. Зобразимо вектори та , приклавши їх у деякій точці А. Момент результуючої пари зобразиться як . Отже, результуюча пара розміститься в площині ABCD, перпендикулярній вектору . Модуль її моменту дорівнює:

.

Питання для самоконтролю

1.Що називається парою сил, моментом пари сил?

2.Як визначається момент пари як вектор?

3.Сформулювати та довести теорему про еквівалентність пар. Які висновки вона має?

4.Сформулювати теорему про додавання пар сил. Довести її.

5.Назвати умову рівноваги системи пар сил.

Лекція №6

Тема: “Зведення системи сил до центра. Умови рівноваги”

Дата добавления: 2014-10-23