Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением двух векторов и называют вектор , который:

-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними - = sinф;

-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов и (т.е. плоскости с векторами и );

-вместе с векторами и в порядке , , образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведение или [, ].

Классическое понятие правой тройки векторов , , в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.

Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов ,, . А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.

Т.к. sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителях и равна модулю вектора .

К определению

В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент силы (постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Вектор направлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величине Sinф.

Механическая интерпретация .

Справедливы следующие свойства векторного произведения.

С1.Для коллинеарных векторов и справедливо =0.

С2. =.

С3. =).

Координатная форма вычисления . Пусть =a_x+a_y+a_z и =b_x+b_y+b_z. Тогда =(a_x+a_y+a_z)х(b_x+b_y+b_z). Далее используем взаимное расположение векторов ,, и свойство 3 получим по определению

a_xb_xх+a_yb_xх+a_zb_xх+a_хb_ух+a_уb_yх+a_zb_ух+ +a_xb_zх+a_y b_z х+a_z b_zх= (a_хb_у-a_yb_x)+(a_zb_x- a_xb_z)+

+(a_y b_z - a_zb_у) =. Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений (или пропорциональность координат).

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведения трех векторов:

((,), ) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;

[[,],] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;

([,],) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.

Анализируя известное произведение [,] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения

([,],). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной =½½. Если теперь перемножить скалярно векторы и , то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях ,, как на ребрах. Т.о., модуль ([,],) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.

К определению ([,],)

Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения

([,],)= (с_x+с_y+с_z)=((a_хb_у - a_yb_x)+(a_zb_x- a_xb_z)+(a_y b_z - a_zb_у) )) (с_x+с_y+с_z)=(a_хb_у - a_yb_x) с_x +(a_zb_x- a_xb_z) с_y +(a_y b_z - a_zb_у) с_z = =.

Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.

Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([,],)=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве.

Дата добавления: 2014-10-23