Возведение комплексных чисел в степень

Тема 2. Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение из корня комплексных чисел.

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на:

Задание

1. Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Цель, ход работы: отработать навыки возведение комплексных чисел в степень, извлечение из корня комплексных чисел, систематизация знаний по теме

Пример 1. Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Пример 2. Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

Тогда, по формуле Муавра:

Пример 3. Возвести в степень комплексные числа , ,

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 4. Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Дата добавления: 2014-10-23