КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
Пример Условие перпендикулярности двух прямых Условие параллельности двух прямых Прямая на плоскости Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Решение
Таким образом,.
2.1. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках и найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины С; 3) координату точки пересечения медиан; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину; 5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ; 6) площадь треугольника. 2.2. Даны вершины треугольной пирамиды,. Найти: 1) угол между ребрами и; 2) площадь грани; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой. Уравнение вида
называется уравнением прямой с угловым коэффициентов, здесь, - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Пусть даны две точки прямой и. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид . Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, имеет вид .
Две прямые параллельны в том и только в том случае, когда составляют равные углы с осью Ох, следовательно или.
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда угол j между ними равен, т.е.. Координаты точки, делящей отрезок АВ в данном отношении, где,, можно вычислить по формулам
. В частности, если, то, т.е. М – середина отрезка АВ, то формулы примут вид . Если уравнение прямой дано в общей форме:, то расстояние точки до этой прямой находится по формуле: . Площадь треугольника с вершинами, можно вычислить по формуле .
Даны вершины треугольника. Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины С; 3) координату точки пересечения медиан; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину; 5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ; 6) площадь треугольника. Решение 1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки. Подставив координаты точек, получим - общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом,. 2) Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны (рис.1): , т.е.,. Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим - общее уравнение прямой СЕ. 3) Точка М делит каждую медиану в отношении, считая от вершины. Таким образом, ее координаты можно найти по формулам: . В нашем случае , откуда. 4) Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой из уравнения. Найдем угловой коэффициент прямой АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки и: - уравнение АС. Угловой коэффициент прямой АС равен, тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых, получим - уравнение высоты. Длину высоты можно найти, как расстояние от точки до прямой АС по формуле. В нашем случае уравнение прямой АС:, следовательно, . 5) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямой АВ равен, следовательно,
- - уравнение искомой прямой. 6) Площадь треугольника находится по формуле:, в нашем случае . у А (4;6)
Е
В (-4;0) М 0 1 х
С (-1;-4) Рис. 1
Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением. Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок. Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются проекции вектора на оси координат. Запись означает, что вектор имеет координаты. Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле . Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор, где, то . Тогда модуль вектора находится по формуле . Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают: () или. По определению , где. Пусть векторы заданы аналитически: . Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов: . Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле . Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом или, определяемый условиями: 1) модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е. ; 2) этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами; 3) направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы и составляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки.)
Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения: . Пусть даны два вектора и. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов: .
Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, т.е..
Если векторы заданы своими прямоугольными координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле . Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения . Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле . Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если, три данные точки, не лежащие на одной прямой, а произвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид . Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства имеет вид . Угол между прямой и плоскостью находится по формуле , где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой
и общего уравнения плоскости , где - вектор нормали к плоскости. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 475; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |