Тема: метод дихотомії (поділу відрізка навпіл)

Лабораторна робота 2.

Завдання.

Контрольні питання.

1. Що в чисельних методах означає розв‘язати рівняння з одною змінною?

2. Дайте означення відрізку ізоляції кореня.

3. Що означає відокремлення коренів?

4. Які методи відокремлення коренів вам відомі?

5. На яких твердженнях математичного аналізу ґрунтуються точні методи відокремлення коренів?

6. В чому полягає аналітичний метод відокремлення коренів для рівняння f (x) = 0 з диференційовною функцією f (x)?

7. В чому полягає комбінованийметод відокремлення коренів для рівняння f (x) = 0 з диференційовною функцією f (x)?

Знайти відрізки ізоляції коренів даного рівняння на відрізку [– 5; 5] комбінованим методом відокремлення коренів.

№	Рівняння
	2^x + 5x – 3 = 0
	x^2+ 4sin x – 1= 0
	x^2- 20sin x – 1= 0
	3x – cos x –1 = 0
	сtg x – 0.5x = 0
	2^x (x-2)^2 – 1 =0
	x^2– cos x= 0
	(x - 3)cos x– 1 = 0
	x^3 – 3x^2 – 24x – 5 =0
	x^3– 2x – 5 = 0

Література:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
2. Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
3. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

(2г.)

Мета: Отримати відомості про метод дихотомії обчислення кореня на відрізку

ізоляції з наперед заданою точністю та навчитися застосовувати цей метод

до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Позначимо через точне значення кореня рівняння на відрізку ізоляції , а через ε – його задану абсолютну похибку. Суть методу в тому, що відрізок ділять пополам точкою і обчислюють . Якщо , то є точним значенням кореня. Якщо , а , то і значення буде шуканим наближенням коренем. Якщо і , то обирають той з двох відрізків і , на кінцях якого функція набуває значень протилежних знаків. Позначимо цей відрізок . Далі відрізок точкою знов ділять пополам і роблять так само, як і для відрізка В результаті процесу ділення відрізків пополам дістають послідовність вкладених відрізків , , ,...,,..., кожен з яких містить точне значення кореня . Довжина відрізка дорівнює , тому = 0. Звідси випливає, що для деякого , а – наближене значення з заданою абсолютною похибкою оскільки

Хід роботи.

Задача. Розв‘язати рівняння f (x) = 2^х + 5x – 3 = 0 на відрізку [–10; 10] з точністю e = 0,5*10^-5.

Знаходження наближених коренів рівняння складається з двох етапів:

3) відокремлення коренів, тобто знаходження для кожного з них відрізку ізоляції;

2) обчислення кореня у відрізку ізоляції з наперед заданою точністю. Отже,

1. Відокремлення коренів рівняння f(x) = 2^х + 5x – 3 = 0 на відрізку [–10; 10].

Застосуємо для знаходження відрізків ізоляції аналітичний метод.

1. Критичні точки – це розв’язки рівняння f ′(x) = 2^х ∙ ln2 + 5 = 0. Тут f ′(x) > 0 при всіх х, оскільки ln2 > 0. Отже, рівняння f ′(x) = 0 не має розв’язків, тобто критичних точок нема.

2. Оскільки f ′(x) > 0 при всіх х, то вся вісь – область зростання функції f (x), існує не більш як один нуль f (x) згідно з теоремою 2.

3. Побудуємо електронну таблицю, а за її допомогою Майстром діаграм графік функції.

-5	27,9688
-4	22,9375
-3	-17,875
-2	-12,75
-1	-7,5
	-2

У першому стовпці електронної таблиці – точки із області визначення функції, у другому – значення функції f (x) = 2^х + 5x – 3 у цих точках. Відрізок [–5;5] та крок 1 тут обрані досить довільно, однак зазначимо, що на [–10;10] графік виглядає так, що їм важко було б скористатись для локалізації коренів.

Згідно з таблицею та графіком функції вона змінює знак на [0;1]. Отже, на цьому відрізку є корінь рівняння згідно з теоремою 1. Це єдиний корінь рівняння згідно з пунктом 2.

4. У якості відрізка ізоляції цього кореня можна обрати саме відрізок [0;1].

2. Знайдемо корінь на [0;1] з точністю e = 0.5*10^-5 методом дихотомії.

У данному випадку, а = 0, b = 1; нехай с = (а + b)/2. Оскільки f (x) зростає, то . Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	A	B	C	D
			= (A1 + B1)/2	= 2^C1 + 5*C1 – 3
	= ЕСЛИ(D1 > 0; A1; C1)	= ЕСЛИ(D1 > 0; C1; B1)	↓	↓
	↓	↓	↓	↓

Тут у чарунки А1 та В1 занесені початкові точки відповідно а = 0, b = 1, у С1 (а + b)/2, у D1 значення функції f (x) при х = С1, у А2 та В2 знаходяться значення відповідно а₁ та b₁, обрахованих у залежності від значення функції f (x) у D1. Символ ↓ означає копіювання попередніх чарунок. В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B	C	D
			0,5	0,914214
		0,5	0,25	-0,56079
	0,25	0,5	0,375	0,17184
	0,25	0,375	0,3125	-0,19564
	0,3125	0,375	0,34375	-0,0122
	0,34375	0,375	0,359375	0,079745
	0,34375	0,359375	0,351563	0,033754
	0,34375	0,351563	0,347656	0,010773
	0,34375	0,347656	0,345703	-0,00071
	0,345703	0,347656	0,34668	0,005029
	0,345703	0,34668	0,346191	0,002157
	0,345703	0,346191	0,345947	0,000722
	0,345703	0,345947	0,345825	3,67E-06
	0,345703	0,345825	0,345764	-0,00036
	0,345764	0,345825	0,345795	-0,00018
	0,345795	0,345825	0,34581	-8,6E-05
	0,34581	0,345825	0,345818	-4,1E-05
	0,345818	0,345825	0,345821	-1,9E-05
	0,345821	0,345825	0,345823	-7,5E-06
	0,345823	0,345825	0,345824	-1,9E-06
	0,345824	0,345825	0,345825	8,66E-07
	0,345824	0,345825	0,345824	-5,4E-07
	0,345824	0,345825	0,345825	1,65E-07
	0,345824	0,345825	0,345825	-1,9E-07
	0,345825	0,345825	0,345825	-1E-08

Як бачимо, починаючи з рядка 23 у стовбці С зміна значень припиняється. Це ефект обчислювальної похибки, докладно розглянутий у [2]: досягнуто найбільш точне значення кореня, яке тільки можливе при даному форматі чарунки, тобто з максимально можливим у чарунці числі значущих цифр.

Перевірка.

Перевіримо правильність отриманого розв’язку безпосередньо. А саме задамо у чарунку С26 формулу = С25 + 0,5*10^-5, у чарунку С27 формулу = С25 – 0,5*10^-5. Значення f (x) у стовбці D підраховуються автоматично. В результаті отримаємо:

	A	B	C	D
	0,345824	0,345825	0,345825	1,65E-07
	0,345824	0,345825	0,345825	-1,9E-07
	0,345825	0,345825	0,345825	-1E-08
			0,34583	2,94E-05
			0,34582	-2,9E-05

Оскільки f (0,345825 + 0,5*10^-5) > 0, a f (0,345825 – 0,5*10^-5) < 0, то відмінність значення 0,345825 від точного значення кореня не перевищує e = 0,5*10^-5, тобто 0,345825 є єдиним коренем рівняння з точністю e = 0,5*10^-5.

Дата добавления: 2014-10-31