Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: оцінки похибок інтерполювання за формулами Ньютона для рівновіддалених вузлів




Лабораторна робота 13.

Завдання.

Контрольні питання.

  1. Інтерполяція за допомогою поділених різниць є досить ефективною. Навіщо виникли скінчені різниці?
  2. Визначте скінчені різниці порядку n.
  3. Який нижній індекс у скінченої різниці порядку n, що дорівнює Δn-1 f i +1 – Δn-1 f i?
  4. Яку таблицю називають горизонтальною таблицею скінчених різниць?
  5. Яку інтерполяційну формулу називають першою інтерполяційною формулою Ньютона?
  6. За якої умови доцільно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона?
  7. Яку інтерполяційну формулу із скінченими різницями доцільно використовувати, якщо значення х лежить ближче до кінця відрізкаінтерполювання?
  8. Яку таблицю називають діагональною таблицею скінчених різниць?

 

Задача. Для функції f, заданої таблицею

Варіант 1.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,837248 1,551809 2,057963 1,7613 1,865629

 

 

Варіант 2.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,021591 0,907299 0,640215 0,786288 0,99863

 

Варіант 3.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,021591 0,907299 0,640215 0,786288 0,99863

 

Варіант 4.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 3,42123 11,82245 43,81604 13,19714 3,935351

 

Варіант 5.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,979908 0,532535 0,59592 0,622234 0,958016

 

Варіант 6.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,837248 1,551809 2,057963 1,7613 1,865629

 

Варіант 7.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,021591 0,907299 0,640215 0,786288 0,99863

 

Варіант 8.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,979908 0,532535 -0,59592 0,622234 0,958016

 

 

Варіант 9.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 3,42123 11,82245 43,81604 13,19714 3,935351

 

Варіант 10.

i          
xi   0,2 0,4 0,6 0,8
yi 0,837248 1,551809 2,057963 1,7613 1,865629

1. Знайти її скінчені різниці

Варіант скінчені різниці
  Δ2у2 , Δ3у1, Δ5у1
  Δ1у3 , Δ4у3, Δ3у1
  Δ2у3 , Δ0у3, Δ3у3
  Δ4у2 , Δ5у1, Δ3у2
  Δ2у3 , Δ4у3, Δ4у0
  Δ1у1 , Δ2у2, Δ3у3
  Δ0у2 , Δ1у3, Δ2у4
  Δ1у3 , Δ3у1, Δ2у2
  Δ2у3 , Δ4у3, Δ5у0
  Δ2у3 , Δ1у2, Δ0у1

2. Знайти наближені значення функції в точках x1* = 0,1 і x2* = 0,7.

 

Література:

  1. Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
  2. Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
  3. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

 

(2г.)

Мета: Отримати відомості про методи обчислення похибок інтерполювання за

формулами Ньютона та навчитися застосовувати ці методи до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Нехай вузли інтерполяції хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0, 1, …, n, yk = fk), відповідна перша інтерполяційна формула Ньютона

f (x) ≈ Ln(x) = y0 + tΔу0 + Δ2у0 + … + Δnу0, (1)

друга інтерполяційна формула Ньютона

f (x) ≈ Ln(x) = yn + tΔуn-1 + Δ2уn-2 + … + Δnу0, (2)

де t = (х – хn)/h. Тоді виконується така

Теорема. Якщо функція f (x) n + 1 раз неперервно диференційовна, то залишковий член (похибка інтерполяції) Rn(f, x) = f (x) – Ln(x) першої інтерполяційної формули Ньютона дорівнює

Rn(f,x) = hn+1t(t –1)(t – 2)…(t – n) ≈ t(t – 1)(t – 2)…(t – n) (х0 ≤ ξ ≤ хn). (3)

Для другої інтерполяційної формули Ньютона залишковий член Rn(f, x) дорівнює

Rn(f, x) = hn+1t(t +1)(t + 2)…(t + n) ≈ t(t +1)(t + 2)…(t + n) (х0 ≤ ξ ≤ хn). (4)

 

Хід роботи.

Задача. 1. Для функції f, заданої таблицею

 

i              
xi   0,2 0,4 0,6 0,8   1,2
yi   0,1974 0,3805 0,5404 0,6747 0,7854 0,8761

 

знайти наближені значення функції в точках x1* = 0,1 і x2* = 1,1.

2. Оцінити похибку інтерполяції, якщо вважати, що функція f (x) 9 разів неперервно диференційовна і до заданої таблиці ще додано значення функції f (1,4) = 0,9505.

Розв’язання. Перша частина задачі вже була розв’язана у задачі 2 лабораторної роботи 12. Тут залишилося оцінити похибки інтерполяції отриманих там наближень f (0,1) ≈ L6(0,1) ≈ 0,099619 і f (1,1) ≈ L6(1,1) ≈ 0,8330.

Згідно з (3) похибка інтерполяції R6(f,x) за першою інтерполяційною формулою Ньютона це R6(f,x) = f (x) – L6(x) ≈ t(t – 1)(t – 2)…(t – 7). Це останній одночлен u7(x) першого інтерполяційного многочлена Ньютона L7(x). Отже, для отримання похибки інтерполяції необхідно просто продовжити таблиці задачі 2 лабораторної роботи 12 ще на один вузол:

 

  A B C D E F G H I
                   
      = B3 – B2
    0,1974  
    0,3805    
    0,5404      
    0,6747        
    0,7854          
    0,8761            
    0,9595              

 

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

 

  A B C D E F G H I
                   
      0,1974 -0,01428 -0,00891 0,006519 -0,0022 -0,00038 0,001386
    0,1974 0,183111 -0,0232 -0,00239 0,004321 -0,00258 0,001001  
    0,3805 0,159913 -0,02559 0,001927 0,001739 0,00158    
    0,5404 0,134321 -0,02366 0,003667 0,000159      
    0,6747 0,110657 -0,02 0,003826        
    0,7854 0,09066 -0,01617          
    0,8761 0,074489            
    0,9505              

 

Побудуємо таблицю для підрахунку L7(x1*) таку ж, як у лабораторній роботі 12:

 

  A B C D E F G H I
  k                
  t-k 0,5 = 0,5 – C11
  t*…*(t-k+1)   = B13*B12
  k!   = B14*C11
  uk(x1*) = B2*B13/B14
  Lk(x1*) = СУММ($B$15:B15)

 

В результаті отримаємо таку таблицю:

 

  A B C D E F G H I
  k                
  t-k 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 -4,5 -5,5 -6,5
  t*…(t-k+1)   0,5 -0,25 0,375 -0,9375 3,28125 -14,7656 81,21094
  k!                
  uk(x1*)   0,098698 0,001786 -0,00056 -0,00025 -6E-05 7,89E-06 2,23E-05
  Lk(x1*)   0,098698 0,100483 0,099926 0,099672 0,099612 0,099619 0,099642

 

Похибка інтерполяції R6(f,x) ≈ u7(x) міститься у чарунці I15: R6(f,x) ≈ 2,23∙10-5. Отже, наближення f (0,1) ≈ L6(0,1) ≈ 0,099619 отримане тут з табличною точністю п’яти вірних значущих цифр.

Аналогічно похибка інтерполяції R6(f,x) за другою інтерполяційною формулою Ньютона це R6(f,x) = f (x) – L6(x) ≈ t(t +1)(t + 2)…(t + n) = u7(x) згідно з (3). Отже, і тут треба продовжити відповідні таблиці задачі 2 лабораторної роботи 12 ще на один вузол:

 

  A B C D E F G H I
                   
                   
    0,1974            
    0,3805          
    0,5404        
    0,6747      
    0,7854    
    0,8761  
    0,9595 = В26 – В25

 

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

 

  A B C D E F G H I
                   
                   
  0,2 0,197396 0,197396            
  0,4 0,380506 0,183111 -0,01428          
  0,6 0,54042 0,159913 -0,0232 -0,00891        
  0,8 0,674741 0,134321 -0,02559 -0,00239 0,006519      
    0,785398 0,110657 -0,02366 0,001927 0,004321 -0,0022    
  1,2 0,876058 0,09066 -0,02 0,003667 0,001739 -0,00258 -0,00038  
  1,4 0,950547 0,074489 -0,01617 0,003826 0,000159 -0,00158 0,001002 0,001386

 

Побудуємо таблицю для підрахунку L7(x2*):

 

  A B C D E F G H I
  k                
  t + k – 0,5 = – 0,5 + C27
  t*…*(t + k–1)   = B29*B28
  k!   = B30*C27
  uk(x2*) = B25*B29/B30
  Lk(x2*) = СУММ($B$32:B32)

 

В результаті отримаємо:

 

  A B C D E F G H I
  k                
  t+k -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
  t*…(t+k-1)   -0,5 -0,25 -0,375 -0,9375 -3,28125 -14,7656 -81,2109
  k!                
  uk(x2*) 0,950547 -0,03724 0,002021 -0,00024 -6,2E-06 4,32E-05 -2,1E-05 -2,2E-05
  Lk(x2*) 0,950547 0,913302 0,915324 0,915085 0,915078 0,915122 0,915101 0,915079

 

Похибка інтерполяції R6(f, x) ≈ u7(x) міститься у чарунці I31: R6(f,x) ≈ 2,2∙10-5. Отже, наближення лабораторної роботи 12 отримане тут також з табличною точністю п’яти вірних значущих цифр.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 295; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.