Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Задача К2

Скорости и ускорения вращающегося тела.

1. Скорости точек тела.

Числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности. или (рис. К 2 а)

2. Ускорение точек тела.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой: ρ- радиус кривизны траектории (м).

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью: . (рис. К 2 а)

Полное ускорение точки М будет

Рис. К 2 а

Механизм состоит из ступенчатых колес 1 —3, находящихся в за­цеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответ­ственно: у колеса 1-r₁ =2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2- r₂= 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 — r₃= 12 см, R₃= 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изме­нения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t) — закон вращения колеса /, S₄(t) — закон движения рейки 4, ω₂(t) — закон изменения угловой скорости колеса 2,V₅(t) — закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ -выражено в радианах, S — в сантиметрах, t — в се­кундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для S₄, S₅ и V₄,V₅— вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (V — линейные, ω — угловые) и ускорения (а — линейные, ε — угловые) соответствующих точек или тел (V₅ — скорость груза 5 и т. д.).

Указания. Задача К2 — на исследование вращательного движения

твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в за­цеплении, скорость точки зацепле­ния каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ремен­ной передачей, то скорости всех то­чек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом счи­тается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер задания	Дано	Найти
скорости	ускорения
		Vв,Vс	ε2, аа,а5
		Vа,Vс	ε2,ав,а4
		V5, ω3	ε2,аа,а4
		V4, ω2	ε2,ас,а5
		V4, ω1	ε1,ав,а5
		V5,Vв	ε2,ас,а4
		V4,ω1	ε1. ас,а5
		Vа,ω3	ε3,ав.а5
		V4,ω2	ε1. ас,а4
		V5,Vв	ε2,аа,а4

Рис. К 2.3

4.2.3. Пример К 2.

Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К 2). Рейка движется по закону .

Д а н о: R₂ =6 см, r₂=4 см, R₃ =8 см, r₃=3 см, (S-в сантиметрах, t- в секундах), А точка обода колеса 3, t₁=3 с.

О п р е д е л и т ь:в момент времени t= t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через V_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через U_i.

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

(1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, V₂=V₁ или

. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, U₂=V₃ или . Из этих равенств находим

. (2)

Тогда для момента времени t₁=3 с получим ω₃=6,75 с^-1.

2. Определяем V₄. Так как V₄= V_B=ω₃r₃, то при t₁=3 с V₄=20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при t₁=3 с ε₃=4,5 с^-2.

4. Определяем а_А. Для точки А , где численно . Тогда для момента времени t₁=3 с имеем

а_Аτ=36 см/с², а_Аn=364,5 см/с²;

.

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К 2.

О т в е т: ω₃=6,75 с^-1; V₄=20,25 см/с; ε₃=4,5 с^-2; а_А=366,3 см/с².

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела – движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Дата добавления: 2014-10-31