Краткие теоретические обоснования решения задач

Точка и прямая. Взаимное положение прямых

Принадлежность точки прямой линии на комплексном чертеже отражается принадлежностью проекций точки одноименным проекциям прямой. Поэтому пересекающиеся прямые, имеющие общую точку М, на чертеже изображаются пересекающимися проекциями, точки пересечения которых (М″, М′) лежат на одной линии связи (рис. 1а).

б.

а.

Рис. 1.

Если прямые скрещивающиеся, то точки пересечения их проекций не лежат на одной линии связи и представляют собой проекции пары «конкурирующих» точек (рис. 1б).

Следует обратить особое внимание на то, что «конкурирующими» называют точки, лежащие на одной проецирующей прямой. Та из них, которая расположена дальше от плоскости проекций, считается видимой.

б.

Рис. 1.

а.

Это точка 1 на фронтальной проекции и точка 3 на горизонтальной (рис.1б). Проекции невидимых точек условились заключать в скобки.

Параллельные прямые изображаются параллельными одноименными проекциями, то есть должны быть параллельны друг другу фронтальные проекции прямых и также взаимно параллельны горизонтальные проекции.

Прямая и точка в плоскости.
Горизонтали и фронтали плоскости

Принадлежность точки плоскости согласно «признаку принадлежности» очевидна, если точка принадлежит прямой, лежащей в плоскости. Прямая, в свою очередь, принадлежит плоскости, если две ее точки находятся в плоскости.

Пусть плоскость задана треугольником ABC (рис. 2).

Прямая l лежит в плоскости ABC, так как две ее точки (1 и 2) принадлежат плоскости. И точка K лежит в плоскости, так как находится на прямой l.

Рис. 2.

Для решения некоторых задач требуется в плоскости выбирать прямые, параллельные плоскостям проекций π₁ и π₂. Такие прямые часто называют «линиями уровня» плоскости.

Прямая h, параллельная π₁ и лежащая в плоскости, называется горизонталью плоскости ABC (рис. 3).

Рис. 3.

Прямая f, параллельная π₂ и лежащая в плоскости, называется фронталью плоскости ABC.

В любой плоскости бесчисленное множество как горизонталей, так и фронталей. Выбор необходимой линии уровни диктуется в какой-то мере условием задачи. Например, горизонталь плоскости ABC удобнее провести через точку C, а фронталь - через точку А, что сокращает графические операции.

Рис. 6.

Рис. 5.

Рис. 3.

Параллельные прямая и плоскость.
Параллельные плоскости

Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости. Например, прямая m параллельна прямой l, лежащей в плоскости (рис. 4).

Рис. 4.

Параллельны плоскость ABC и прямая n, параллельная стороне ВС, и т.д.

Согласно признаку параллельности плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, тогда эти плоскости будут параллельны.

Рис. 5.

При построении плоскости, параллельной плоскости ABC, через некоторую точку К, должны быть проведены проекции прямых m и n, параллельные проекциям выбранных в плоскости ABC двух пересекающихся прямых, например, ВС и АС, и обязательно обозначены (m", m', n", n'). В противном случае решение неопределенно (см. рис. 5).

Пересечение прямой с плоскостью

Если прямая и плоскость не параллельны, то они пересекаются в точке, которая принадлежит как прямой, так и плоскости.

Определение точки пересечения прямой l с плоскостью ABC в общем случае выполняется в такой последовательности (рис. 6):

– через прямую проводят вспомогательную проецирующую плоскость, например, α ^ π₂; ее след α" совпадает с фронтальной проекцией прямой;

– находят линию MN пересечения плоскостей α и ABC;

– фиксируют точку O пересечения прямой l и прямой MN (в данном варианте сначала определяется проекция O').

Рис. 6

Видимость прямой l по отношению к плоскости ABC определена с помощью пар конкурирующих точек F и G, M и P.

Рис. 6.

Следует заметить, что видимость элементов чертежа на горизонтальной проекции («кон-курирующие» точки F и G) и фронтальной («конкурирующие» точки М и P) определяется индивидуально. Для горизонталь-ной проекции решается вопрос, какая из точек выше, т.е. координата Z больше, та и будет видимой. Это точка F принадлежащая стороне ВС. А для фронтальной проекции – какая из точек ближе (координата Y больше), это точка М, принадлежащая стороне АВ.

Пересечение двух плоскостей

Имеется несколько способов построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Например, используются две вспомогательные проецирующие плоскости, каждая из которых позволяет найти одну общую точку заданных плоскостей. В основе метода – простота построения линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей.

Можно также взять одну из прямых заданной плоскости и найти ее точку пересечения с другой заданной плоскостью. Решив такую задачу дважды, определяют две точки линии пересечения плоскостей. Выбор прямых произволен и диктуется удобством решения, в частности тем, чтобы искомая точка находилась в пределах чертежа. Этот способ отличается от предыдущего меньшим числом графических построений, а значит, большей точностью решения.

Перпендикулярные прямые

Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые в пространстве могут располагаться в частности под прямым углом друг к другу. Если обе прямые – общего положения, то факт их перпендикулярности на чертеже не отражается: проекцией прямого угла будет тупой (острый) угол.

И только в случае, если одна из прямых параллельна плоскости проекций, прямой угол проецируется в натуральную величину на ту плоскость, которой прямая параллельна. Это предложение (теорема) является основополагающим для изображения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых: тогда и только тогда прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций, а следовательно, является или

б.

а.

Рис. 7.

фронталью, или горизонталью.

На рис.7,а изображены взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые на рис.7,б – пересекающиеся под прямым углом.

Перпендикулярные прямая и плоскость

Согласно признаку перпендикулярности в данной плоскости должны быть две пересекающиеся прямые, перпендикулярно которым следует направить перпендикуляр к этой плоскости.

Рис. 8.

Известно, что перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости. Но на плоскость проекций, как известно, прямой угол проецируется только тогда, когда хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций. Поэтому в качестве двух пересекающихся прямых плоскости следует выбрать любые горизонталь и фронталь этой плоскости. Тогда фронтальная проекция перпендикуляра должна быть направлена перпендикулярно фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная пройдет перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Построение двух проекций перпендикуляра определяет только его направление в пространстве. В общем случае перпендикуляр и линии уровня плоскости – скрещивающиеся прямые, и точек их пересечения не существует.

Если требуется найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью, то задача решается по известной методике (см. стр.7.).

Обратную задачу – построение плоскости, перпендикулярной данной прямой – логично решить заданием плоскости ее линиями уровня, так как направление их проекций известно. Так в точке A построена плоскость α(f∩h) перпендикулярная отрезку CD (рис. 8).

Перпендикулярные плоскости

Известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Поэтому, построение плоскости, перпендикулярной данной, предполагает построение перпендикуляра к ней из любой точки, заведомо принадлежащей искомой плоскости.

Пусть через прямую l требуется построить плоскость, перпендикулярную данной, которая задана своими горизонталью h(h”, h’) и фронталью f(f”, f’) (рис. 9а).

Рис. 9.

а.

б.

Решение сводится к построению в некоторой точке A, принадлежащей прямой l, перпендикуляра p, причем p” ^ f”, p’ ^ f’ (рис.9б).

Если в данной плоскости линии уровня отсутствуют, то их предварительно нужно построить.

Дата добавления: 2014-10-31