Застосування основних теорем динаміки до дослідження руху матеріальної точки

Необхідні для виконання завдання Д-6

Розв’язання багатьох задач динаміки матеріальної точки можна значно спростити, якщо замість інтегрування диференціальних рівнянь застосувати так звані загальні теореми динаміки, які є наслідками основного рівняння динаміки.

Розглянемо ці теореми.

1. Кількістю руху матеріальної точки називається векторна міра механічного руху яка дорівнює добутку маси матеріальної точки на її швидкість.

Напрямлений вектор кількості руху матеріальної точки так само як і вектор швидкості точки, тобто по дотичній до траєкторії точки.

2. Для характеристики дії сили на матеріальну точку за деякий проміжок часу вводиться поняття про імпульс сили.

Елементарним імпульсом сили називається векторна величина, яка дорівнює добутку сили на елементарний проміжок часу:

(1)

Напрямлений елементарний імпульс уздовж лінії дії сили, імпульс сили за кінцевий проміжок часу визначається за формулою:

(2)

.Якщо сила стала і за модулем, і за напрямком, то

(3)

В загальному випадку модуль імпульсу сили можна визначити по його проекціях на осі координат:

(4)

З рівнянь (2) і (4) видно, що обчислити імпульс сили можна лише тоді, коли сили стал і, або залежать тільки від часу

3. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній або кінцевій формі формулюється так: зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх діючих на точку сил за той же проміжок часу.

(5)

При розв’язанні задач замість векторної рівності (5) користуються скалярними рівностями в проекціях на осі координат:

(6)

Якщо матеріальна точка здійснює прямолінійний рух вздовж осі Ох, теорема виражається одним першим з рівнянь (6).

4. Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна міра механічного руху, яка дорівнює половині добутку маси матеріальної точки на квадрат її швидкості:

(7)

5. Для характеристики дії сили на матеріальну точку при деякому її переміщенні вводиться поняття про роботу сили.

6. Елементарною роботою сили на елементарному переміщенні називається скалярна міра дії сили, яка дорівнює скалярному добутку сили на елементарне переміщення точки її прикладання:

(8)

7. Аналітичний вираз елементарної роботи сили має вид:

(9)

8. Повна робота сили або робота сили на скінченному переміщенні по криволінійній траєкторії з початкового положення М_о в кінцеве положення М₁ визначається за формулою:

(10)

Часто при обчисленні роботи сил зручніше використовувати готові формули, які приводяться далі.

9. Робота сталої сили при прямолінійному русі точки:

(11)

Якщо кут α гострий, то робота сили додатна; якщо кут α прямий, то робота сили дорівнює нулю; якщо кут α тупий, то робота сила від’ємна.

10. Робота сили ваги визначається за формулою:

(12)

Якщо матеріальна точка наближається до земної поверхні, то робота сили ваги буде додатна. Якщо матеріальна точка віддаляється від земної поверхні, то робота сили ваги буде від’ємна.

11. Робота сили пружності визначається за формулою:

, (13)

де с– коефіцієнт жорсткості;

і h – початкова і кінцева деформації.

12. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в інтегральній, або кінцевій, формі формулюється так: зміна кінетичної енергії матеріальної точки при деякому її переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх діючих на точку сил на тому ж переміщенні,

. (14)

13. При розв’язанні задач за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії треба обчислювати роботу сил. Як видно з формули (10), це можна зробити лише тоді, коли сили сталі, або залежать тільки від координат рухомої точки.

Дата добавления: 2014-10-31