Элементы теории кооперативных игр 183 5 страница

a/С > 1

рис. 34.

a/С = 1

рис. 35.

a/С < 1

рис. 36.

III. При С > 0, a < 0 лучший ответ игрока 1 изображен на рис. 37, если наоборот С < 0, a > 0, то этому случаю соответствует рис. 38:

рис. 37.

рис. 38.

IV. Если C¹0, a = 0, то лучшие ответы игрока 1, имеющие вид зигзагов, проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 39 и 40.

рис. 39.

рис. 40.

V. Если C = 0, a ¹ 0, то в этом случае зигзаги вырождаются в прямые на рис. 41 и 42. При решении неравенств (3) возможен либо случай 3), когда a > 0, либо случай 1), когда a < 0.

рис. 41.

рис. 42.

VI. Наконец, если (7 = 0, а = О, то любая точка квадрата является решением системы — рис. 43.

рис. 43.

Анализируя рисунки 31-42, можно отметить, что качественно различных реше­ний могут быть три вида: горизонтальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис. 33) и "убывающий" (рис. 36) зигзаги.

При решении неравенств (4) также возможны три случая:

1) g = l, Dp>(3;

2) 0< g < 0, Dp = /3-

3) g = 0, DP<(3.

Аналогично, лучшие ответы игрока 2 в зависимости от соотношений между D и (3 выглядят следующим образом:

I. Для D > О, (3 > О, лучшие ответы игрока 2 изображены на рис. 44-46:

рис. 44.

рис. 45.

II. Если D < 0, b < 0, наилучшие ответы 2 игрока на рис. 47-49:

рис. 46.

рис. 47.

рис. 48.

рис. 49.

III. Если D > 0, (3 < 0, то см. рис. 50; если D < 0, (3 > 0 — то рис. 51.

рис. 50.

рис. 51.

IV. Если D ф 0, (3 = 0, то лучшие ответы игрока 2 проходят по смежным сторонам квадрата — рис. 52 и 53:

рис. 52.

рис. 53.

V. При D = О, (3 ф О зигзаги вырождаются в прямые на рис. 24,25. При решении неравенств (4) возможен случай 3) когда (3 > О, либо 1), когда (3 < О.

рис. 54.

рис. 55.

VI. Если D = О, (3 = 0, то мы получаем любую точку квадрата — рис. 56.

Исключая тривиальный VI случай, убеждаемся, что и для игрока 2 возможны три различных вида лучших ответов: вертикальный отрезок вдоль одной из сторон квадрата, любые две смежные стороны квадрата, "возрастающий" (рис.46) и "убывающий" (рис. 49) зигзаги.

рис. 56.

Равновесным ситуациям графически соответствуют точки пересечений множеств лучших ответов игроков. Совмещая графики лучших ответов игрока 1 (рис. 31-43) с любым графиком наилучших ответов игрока 2 (рис. 34-56), мы получаем всевозможные варианты множеств равновесных ситуаций биматричной игры 2x2.

Рассмотрим геометрический смысл условий (3) и (4) на примере описанной выше игры "Дилемма Заключенного". Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой игре, задается матрицей

Имеем С = -1 - (-10) - 0 + (-6) = 3, a = -6 - (-10) =4, D = -1 - 0 -(-10) + (-6) = 3, (3 = -6 = (-10) = 4

Тогда условия (3), (4) выглядят следующим образом:

Отсюда получаем, что при р = 1, q ³ 4/3, при 0 < р < 1, q = 4/3, при р = 0, q £ 4/3; при q = 1, р ³ 4/3, при 0 < q < 1, р = 4/3, при q = 0, p £ 4/3< | Полученные лучшие ответы изображены на рис. 57.

рис. 57.

Как видно из сказанного выше, такой рисунок можно получить совмещением рис. 31 и рис. 44, где пунктиром отмечены участки зигзагов, не принадлежащих единичному квадрату. Из рисунка видно, что существует единственная ситуация равновесия р = 0, q = 0. Это ситуация, в которой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — Сознаться.

Из анализа всевозможных ситуаций видно, что биматричная игра всегда имеет, по меньшей мере, одну точку равновесия по Нэшу, что является наглядной иллюстрацией теоремы Нэша о существовании равновесия.

Отметим при этом несколько качественных особенностей, существующих равновесий.

1) Единственное равновесие по Нэшу в чистых стратегиях — например, рис. 37 и рис.44 дают равновесную точку р = 1, q = 0. "Дилемма Заключенного" относится к такому случаю (здесь р = 1, q = 1).

рис. 58.

2) Единственное равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях, например, рис. 36 и рис. 46 когда накладывается "убывающий" зигзаг на "возрастающий" зигзаг. Игра "Орел" или "Решка" является примером такого случая.

3) Три равновесия по Нэшу — два в чистых стратегиях и одно — в смешанных. Такая ситуация образуется, когда накладываются два "возрастающих" или два "убывающих зигзага", например, рис. 33 и рис. 46. Такого типа ситуация возникает в игре "Семейный спор" (см. рис.59).

рис. 59.

4) Два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях. Его можно получить, например, наложением рис. 9 и рис. 22. Такая ситуация возникает, в частности, когда в матрице А выигрышей игрока 1 a12 = а22, а в матрице В выигрышей игрока 2 bl2 = b22. См. рис. 60.

рис. 60.

5) Континуум равновесий по Нэшу в (смешанных стратегиях). Примеров такого рода равновесий можно предложить очень много. Скажем, совмещение рис. 36 и рис.53 дает множество равновесных точек, где р = 0, qÎ[0, 1] и Р = 1, q = 0 и т.п. См. рис. 61.

рис. 61.

Замечание 1.14.1. Следует отметить интересное свойство, присущее некоторым типам равновесий. А именно, в случаях 1), 2), 3), когда равновесных ситуаций в игре нечетное число, при достаточно малых изменениях элементов матриц выигрышей зигзаги также слегка "пошевелятся", но их общая форма и характер их взаимного расположения не изменятся, а значит, не изменится и число равновесных ситуаций.

Этого нельзя сказать о случаях четного и бесконечного числа равновесных ситуаций. В этих случаях малейшее изменение элементов матриц выигрышей может приводить к совершенно иным качественным ситуациям. Например, ситуация изображенная на рис. 60 может перейти в ситуацию либо с одним чистым равновесием, если a = 0, b < 0 (b22 < b21), (см. рис. 62), либо в ситуацию с тремя равновесиями, если a > 0, b > О (a22 < a21) (см. рис.63), либо в ситуацию с континуумом равновесий, если a > 0, b = 0 (см. рис. 64)

рис. 62.

рис. 63.

рис. 64.

Замечание 1.14.2. Рассмотрим наиболее интересный случай, когда С и D не равны нулю. Тогда равновесная ситуация определяется двумя формулами р = b/D, q = a/C из которых следует, что в равновесной ситуации выбор игрока 1 определяется элементами матрицы выигрышей игрока 2 и не зависит от элементов собственной матрицы, а выбор игрока 2 в равновесной ситуации полностью определяется элементами матрицы игрока 1 и не зависит от элементов собственной матрицы. Иными словами, равновесная стратегия обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать его). Таким образом, в бима-тричной игре мы сталкиваемся не с антагонизмом интересов, а с антагонизмом поведения.

1.15 Задачи

1. Какие стратегии в следующей игре, представленной в нормальной форме, выживают после последовательного исключения строго доминируемых стратегий? Найдите все равновесия по Нэшу.

2. Игроки I и II торгуются по поводу того, как поделить один доллар. Оба игрока одновременно называют доли, которые они бы хотели иметь, S1 и S2, где 0 £ S1, S2 £ 1. Если S1 + S2 £ 1, то игроки получают названные доли; если S1 + S2 > 1, то оба игрока ничего не получают. Каковы равновесия по Нэшу в этой игре?

3. Рассмотрим модель олигополии по Курно с n фирмами. Пусть Q объем произведенной продукции фирмой i и пусть Q = q1 + … + qn - общий объем продукции на рынке. Предположим, что функция обратного спроса имеет вид P(Q) = а - Q (для Q £ а, иначе Р = 0). Полные затраты фирмы i на производство продукции в размере qi есть C(q_i) = с×q_i, то есть постоянных затрат нет, а предельные затраты постоянны и равны с, причем с < а. Фирмы выбирают свои объемы производства одновременно. Найдите равновесие по Нэшу? Что будет происходить, если п стремится к бесконечности?

4. Рассмотрим следующий конечный вариант модели дуополии по Курно. Допустим, что каждая из фирм должна выбрать, производить ли половину монопольного объема продукции, q_m/2 = (а - с)/4, либо равновесный по Курно объем, q_c = (а - с)/3. Другие объемы производства в такой модели невозможны. Показать, что эта игра с двумя ходами эквивалентна дилемме Заключенного: каждая фирма имеет строго доминируемую стратегию и в равновесии обе фирмы оказываются в менее выгодном положении, нежели в ситуации, когда бы они выбрали сотрудничество (кооперацию).

[1]Далее мы будем ссылаться на эти книги без указания года издания.

[2] В англоязычной литературе общепринятыми являются названия Industrial Organization или Industrial Economics. Соответствующие русские названия курсов — это уже упомянутая теория организации промышленности, структура отраслевых рынков, теория организации отраслевых рынков и другие. Здесь и далее мы будем в сносках указывать английские соответствия основным используемым понятиям.

[3] (feasible outcomes)

[4] Приложения кооперативных игр мы достаточно подробно рассмотрим в гл.6.

[5] или расширенная форма — extensive form

[6] normal form representation

[7] В настоящей главе, в которой рассматриваются статические игры, то есть игры, в которых игроки ходят один раз, одновременно и независимо, стратегия игрока и его ход — это одно и то же. Принципиальная разница, как мы увидим ниже, возникает в динамическом случае.

[8] Разумеется, в общем случае, мы не должны исключать случаи S¹ÍПSi; соответствующие "играм с запрещенными ситуациями". Однако мы здесь такие игры не рассматриваем.

[9] common knowledge

[10] mixed strategy

[11] never a best response

[12] razionalizable strategies

[13] correlated equilibrium

[14] ¹⁰Русский перевод статьи Гликсберга опубликован в сборнике "Бесконечные антагонистические игры (1963). Под ред. Н.Н.Воробьева. М.: Физматгиз. В русских переводах можно встретить две версии транскрипции Fan Ky: Фань Цзи (см., например, упомянутый выше сборник) и Ки Фань (см., например, Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988).

[15] Многозначное отображение F называется полунепрерывным сверху (п.н.св.), если из х_п ® х yÎF(x_n), у_п ® у следует уÎF(x).

[16] Вообще говоря, под исходом следует понимать полное описание "результата" игры: и выбранные стратегии и соответствующие выигрыши игроков и, возможно, какие-то другие атрибуты (например, объявление о том, что победил такой-то игрок X). В данном случае мы имеем в виду победившую альтернативу.

[17] Мы всегда будем ограничиваться рассмотрением лишь условия I порядка (в тех случаях, когда это необходимо), считая, что они определяют решение (не упоминая условия II, поскольку в тех ситуациях, которые мы будем рассматривать, это действительно, будет иметь место).

[18] Вообще говоря, этот процесс можно рассматривать и без чередования ходов, когда каждая фирма на следующем шаге выбирает объем выпуска, как лучший ответ на предыдущий выбор конкурента (см., например, Fudenberg, Levine (1998)).

[19] Normal form trembling hand perfect Hash equilibrium.

[20] Р.Зельтен - лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года.

Дата добавления: 2014-10-31