Ориентированные графы непрерывных САУ

Инверсия замкнутого контура

Правило: В любом замкнутом непрерывном контуре можно поменять местами прямой и обратный каналы, заменив их передаточные функции на обратные и заменив на обратные знаки суммирования внешних сигналов, кроме основного узла суммирования.

Это правило получается после двукратного применения правила инверсии пути к прямому и обратному каналам контура. Рис. 3.12. иллюстрирует результат инвертирования контура.

f

g y g y

f

Рис. 3.12

Наряду со структурными схемами для графического изображения моделей САУ широко используются ориентированные графы, которые в ряде случаев благодаря своим наглядности и прозрачности позволяют легче, чем структурные схемы, провести необходимые преобразования, значительно упрощающие решение задач анализа и синтеза САУ.

Ориентированным графом называется множество точек, называемых вершинами и множества самонепересекающихся ориентированных кривых, называемых дугами, которые подчиняются следующим трем правилам:

1) каждая незамкнутая дуга содержит только две вершины;

2) каждая замкнутая дуга содержит только одну вершину;

3) дуги не имеют общих точек, кроме вершин.

Ориентированный граф САУ имеет кроме того следующие свойства:

1) каждая дуга соответствует звену модели САУ и характеризуется оператором изображаемого его звена;

2) каждая вершина соответствует какой-либо переменной структурной схемы.

Граф системы управления может быть построен по структурной схеме. При переходе от структурной схемы к ориентированному графу необходимо следовать следующим правилам:

1) знаки суммирования сигналов в элементах суммирования учитываются в операторах соответствующих дуг;

2) каждый элемент суммирования заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная звена;

3) каждое звено структурной схемы заменяется дугой с оператором звена;

4) каждой переменной внешних воздействий соответствует своя вершина.

Так структурной схеме (рис. 3.13, а) соответствует граф, показанный на рис. 3.13, б.

f f

g y g 1 W ₁ -1 W ₂ y

- W ₃

a) б)

Рис. 3.13

При построение графа, эквивалентного структурной схеме дискретной системы, дополнительно к четырем выше сформулированным правилам пользуется специфическим правилом: дискретные элементы изображаются как и на структурной схеме ключами с учетом, что передаточные функции формирующих звеньев объединены с операторами других непрерывных звеньев (рис. 3.14, где W ₁(s)= W _ф3(s) W (s)).

g e e *(t) y g 1 e e * W ₁(s) y

- W _ос(s)

a) б)

Ориентированные графы могут быть преобразованы с использованием следующих правил:

1) параллельные дуги можно заменить одной дугой с передачей равной сумме передач исходных дуг;

2) путь, не содержащий не принадлежащих ему дуг, можно заменить одной дугой с передачей равной произведению передач отдельных дуг этого пути.

Для упрощения сложного графа и вычисления по нему передачи между двумя любыми вершинами используется правило Мэйсона, выражаемое следующей формулой:

W_x,y = .

Здесь W_i – передача i -го пути от вершины x к вершине y, равная произведению передач дуг, входящих в этот путь; m - число таких путей; - определитель графа, вычисляемый по формуле:

= 1 – +–+…,

где W _{0 j}, W _{o k} , W _{o l} – передачи j -го, k -го или l -го контуров, равные произведению передач входящих в них дуг; в первой сумме суммируются передачи всех контуров, во второй сумме – произведения передач несоприкасающихся (не имеющих общих вершин) контуров; в третьей сумме суммируются произведения трех передач трех несоприкасающихся контуров и так далее;

_I – определитель подграфа, остающегося от исходного графа после удаления дуг и вершин i -го пути, включая дуги, подходящие к этим вершинам (другими словами _I – определитель той части графа, которая не касается с рассматриваемого i -го пути).

В качестве примера рассмотрим использование формулы Мэйсона для графа, изображенного на рис. 3.15.

W ₉

- W ₂ - W ₆ -1

1 W ₁ W ₃ W ₅ 1 W ₇

g - W ₄ y

- W ₈

Представленный граф содержит:

1) два пути от вершин G к вершине Y

W _п1 = W ₁ W ₃ W ₅ W ₇, W _п2= W ₅ W ₇ W ₉;

2) пять простых контуров:

W ₀₁ = – W ₁ W ₂, W ₀₂ = – W ₃ W ₄, W ₀₃ = – W ₅ W ₆, W ₀₄ = – W ₇, W ₀₅ = – W ₁ W ₃ W ₅ W ₇ W ₈

3) четыре пары несоприкасающихся контуров:

W ₀₁ W ₀₃, W ₀₁ W ₀₄, W ₀₂ W ₀₄, W ₀₃ W ₀₄;

4) одну тройку несоприкасающихся контуров

W ₀₁ W ₀₃ W ₀₄;

5) определитель подграфа первого пути = 1, так как нет контуров, несоприкасающихся с первым путем;

6) определитель подграфа второго пути: = 1 + W ₁ W ₂;

определитель всего графа

= 1 – (W ₀₁ + W ₀₂ + W ₀₃ + W ₀₄ + W ₀₅) +

+ (W ₀₁ W ₀₃ + W ₀₁ W ₀₄ + W ₀₂ W ₀₄ + W ₀₃ W ₀₄) – W ₀₁ W ₀₃ W ₀₄.

Передача всего графа от вершин G к вершине Y:

W_g,y =.

Дата добавления: 2014-10-31