Логарифмические частотные характеристики

При построении логарифмических амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик (ЛАФЧХ) частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе, т. е. на оси w наносятся отметки, соответствующие lgw, но около отметок указываются действительные значения w (рис. 3.21).

Начало координат может быть помещено в любой точке оси w в зависимости от того, в каком интервале частот находится соответствующий диапазон частот системы. Необходимо помнить, что точка w = 0 лежит в -¥ и никогда не отмечается на графиках ЛАФЧХ. Равномерной единицей на оси частот является декада – любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в десять раз. Значения частоты откладываются в радианах в секунду (с^-1).

По оси ординат при построении ЛАЧХ откладывается величина 20 lg A (w) = 20 lg / W (j w)/, единицей измерения для которой является децибел (дБ). Обычно логарифмическую амплитуду обозначают через L = 20 lg A = 20 lg / W (j w)/, Ось ординат ЛАЧХ показана на рис. 3.22. Начало оси ординат
L = 0 соответствует значению A = 1, т. е. равенству амплитуд входного и выходного сигналов системы. Поэтому верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям A > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям A < 1 (ослабление амплитуды).

При построении логарифмической фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) частота w откладывается на оси абсцисс по-прежнему в логарифмическом масштабе, а значения углов фазового сдвига наносятся на оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. Возможный вид совместно построенных ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на рис. 3.23.

В качестве примера построим ЛАФЧХ непрерывного интегрирующего звена W (j w) = k / j w.

ЛАЧХ L_u (w) = 20 lg / W (j w)/ = 20 lg/ k / j w/ = 20 lg k – 20 lgw. Характеристика L_u (w) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое 20 lg k графически представляет прямую, проходящую параллельно оси абсцисс на расстоянии 20 lg k. Второе слагаемое графически соответствует прямой с наклоном –20 дБ/дек и проходящую через точку w = 1, L = 0.

Фазочастотная характеристика j(w) = arctg(-¥) = -90^°. Характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ показаны на рис. 3.24.

Аналогично строятся ЛАФЧХ других типовых звеньев и целых систем.

Пусть исходная система имеет передаточную функцию . Она соответствует последовательному соединению двух типовых звеньев: интегрирующего W (s) = k/s и апериодического 1-го порядка . Покажем, как строятся ЛАФЧХ такой системы. Логарифмические характеристики интегрирующего звена нам уже известны. Поэтому построим сначала ЛАФЧХ апериодического звена 1-го порядка, а затем суммируем характеристики обоих звеньев для получения общих ЛАФЧХ.

Для апериодического звена 1-го порядка

Так как 20 lg1 = 0, то .

Для построения ЛАЧХ определим асимптоты этой характеристики:

а) при w ® 0 L (w) @ - 20 lg1 = 0;

б) при w ® ¥ L (w) @ - 20 lg T w.

Это значит, что на низких частотах L_a (w) будет совпадать с осью частот, а начиная с частоты w = 1/ T L_a (w) = - 20 lg T w, т. е. прямая с наклоном –20 дБ/дек. Совместное построение ЛАФЧХ обоих звеньев и суммарные ЛАФЧХ всей системы показаны на рис. 3.25.

Суммарные ЛАФЧХ системы построены в соответствии с выражениями:

j(w) = j_и(w) + j_а(w) = - p/2 - arctg T w.

Последняя характеристика j_а(w) = - arctg T w представляет собой плавную кривую, симметричную относительно частоты w = 1/ T.

Графики L _а(l) и j_a(l) показаны на рис. 3.26.

Как и для интегрирующего звена, так и для апериодического звена 1-го порядка наблюдается совпадение ЛАФЧХ в области низких частот и существенное различие в области высоких частот для непрерывного режимов работы.

Дата добавления: 2014-10-31