Параллельный колебательный 1 страница

КОНТУР

4.1. Схема последовательного колебательного контура

Последовательным колебательным контуром называют электрическую цепь, представляющую собой последовательное соединение катушки индуктивности и конденсатора. Его возможные варианты включения как четырехполюсника показа- ны на рис. 4.1 (выход-

ное напряжение сни- Рис. 4.1

мается с конденсатора

или с катушки индуктивности).

Конденсатор и катушка индуктивности имеют внутренние потери энергии, которые учитываются последовательно соединенными с ними эквивалентными сопротивлениями потерь и соответственно. На практике в керамических конденсаторах всегда и потерями в них пренебрегают, тогда эквивалентные схемы последовательных колебательных контуров рис. 4.1 примут вид, показанный на рис. 4.2.

Рис. 4.2

В дальнейшем будем рассматривать схему на рис. 4.2а, в которой выходное напряжение снимается с емкости, а схему

на рис. 4.2б аналогично рассмотрите самостоятельно.

4.2. Входное сопротивление последовательного

колебательного контура

Определим входное сопротивление последовательного колебательного контура показанного на рис. 4.3. Полное комплексное сопротивление равно

. (4.1)

Рис. 4.3 Его модуль , аргумент , активная

и реактивная составляющие соответственно равны:

Зависимости этих функций от частоты сигнала при Ом, мГн, нФ показаны на рис. 4.4. На частоте

(4.2)

реактивное сопротивление и принимает минималь-

ное значение, равное ,

. (4.3)

Рис. 4.4

При отклонении частоты от модуль сопротивления контура резко возрастает. В области реактивное сопротивление положительно, то есть контур имеет индуктивный характер сопротивления, сдвиг фаз между напряжением и током . В области реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление контура имеет емкостный характер .

4.3. Ток и напряжения в контуре, резонансные явления

Подключим к контуру рис. 4.2а идеальный источник гармонического напряжения, получим схему на рис. 4.5.

Комплексная амплитуда ЭДС источника равна , тогда для комплексной амплитуды тока в контуре получим

Рис. 4.5 , (4.4)

а для его амплитуды и начальной фазы соответственно

, (4.5)

. (4.6)

Зависимости амплитуды и начальной фазы тока от частоты при Ом, мГн, нФ, В и представлены на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Ток в контуре резко нарастает при приближении частоты источника к частоте (4.3), его максимальное значение равно

. (4.7)

Однако резонанс тока в последовательном колебательном контуре отсутствует, так как ток в контуре равен току источника, а не возрастает по сравнению с ним.

Так как изменения тока происходят в малой окрестности около частоты , то целесообразно строить графики в координатах абсолютной расстройки, равной

, (4.8)

то есть производится смещение начала координат в точку .

Те же графики, что и на рис. 4.6, но в координатах , показаны на рис. 4.7.

Рис.4.7

Как видно, координаты абсолютной расстройки удобны для построения графиков частотных характеристик колебательного контура.

Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах контура:

, (4.9)

, (4.10)

. (4.11)

Тогда для амплитуд этих напряжений получим:

, (4.12)

, (4.13)

. (4.14)

а их начальные фазы равны

, (4.15)

, (4.16)

. (4.17)

На рис. 4.8 показаны зависимости амплитуд напряжений на элементах контура при Ом, мГн, нФ, В и (обратите внимание, что сопротивление потерь в 10 раз больше, чем в предыдущем примере)

Рис. 4.8

На рис. 4.8а кривые представлены в широком диапазоне частот, а на рис. 4.8б – в координатах абсолютной расстройки и узком частотном интервале в окрестности .

Как видно на частоте напряжения на индуктивности и емкости резко возрастают по сравнению с напряжением (ЭДС) источника (становятся много больше ), то есть в последовательном колебательном контуре имеет место резонанс напряжений на реактивных элементах. Напряжение на сопротивлении не превышает входной ЭДС, поэтому о его резонансе говорить не приходится.

Частоты, на которых напряжения и максимальны, примерно равны , поэтому частоту (4.2)

называют резонансной.

Точные значения резонансных частот нетрудно найти, определив производные и по частоте и приравняв результат нулю (проделайте это самостоятельно). Как видно из кривых рис. 4.8б, эти частоты отличаются от весьма незначительно (резонансная частота напряжения емкости меньше , а индуктивности – больше) и тем сильнее, чем больше сопротивление (для того, чтобы это увидеть графически и было выбрано Ом).

Принимая резонансную частоту равной , определим резонансные амплитуды напряжений,

, (4.18)

, (4.19)

. (4.20)

Подстановкой нетрудно убедиться, что

, (4.21)

тогда резонансные напряжения на реактивных элементах одинаковы и равны

. (4.22)

Величину

(4.23)

называют добротность ю колебательного контура. Согласно (4.22) добротность является важнейшей характеристикой резонансных явлений.

На рис. 4.9 приведены зависимости от частоты сдвигов фаз напряжений на элементах контура относительно фазы ЭДС источника,

,

, (4.24)

,

начальные фазы напряжений определяются из (4.15)-(4.17). Как видно, напряжение на индуктивности опережает по фазе

напряжение на сопротивлении на , а на емкости – отстает от него на . Напряжение на индуктивности опережает по фазе напряжение на емкости на , то есть эти напряжения противофазны.

Рис. 4.9

4.4. Вторичные параметры колебательного контура

Последовательный колебательный контур полностью описывается своими первичными параметрами , и . Однако их численные значения малоинформативны, и на практике широко используются дополнительные (вторичные) параметры.

Резонансная частота контура

(4.25)

измеряется в радианах делить на секунду, или

, (4.26)

которая измеряется в герцах. Ее значение сразу определяет частоту настройки колебательного контура.

Характеристическое сопротивление контура

(4.27)

измеряется в Омах и численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости (отдельно) на резонансной частоте .

Добротность контура

(4.28)

- величина безразмерная, характеризует резонансные свойства колебательного контура. Ф изический смысл добротности – это отношение максимальной энергии, накапливаемой в реактивных элементах, к энергии потерь в контуре за период колебаний на резонансной частоте.

Как видно из (2.28), добротность возрастает с уменьшением сопротивления потерь контура, которое практически полностью определяется потерями мощности сигнала в катушке индуктивности. На практике добротность . В большинстве случаев добротность составляет 70-100. Для получения высоких добротностей 150-300 используют специальный провод (покрытый тонким слоем серебра – «серебрянку»), вжигание серебряного проводника в керамический каркас и ряд других инженерных решений. Более высокие значения добротности LC колебательных контуров получить не удается.

Явление резонанса и понятие добротности используются и в механических колебательных системах. Например,

в кристаллах кварца (горного хрусталя) очень малы потери энергии механических колебаний, то есть они имеют высокую добротность. Поэтому изготовленные из него бокалы при слабом ударе издают продолжительный звон. В железе, алюминии или пластмассе эти потери велики, поэтому сделанные их них бокалы не обладают соответствующим звучанием.

Помимо малых потерь энергии механических колебаний монокристаллы кварца характеризуются явлением пьезоэффекта (повторите материал по физике): при возникновении в кварцевой пластине механических колебаний на ее гранях возникает переменное напряжение и наоборот, приложенное к кристаллу переменное напряжение вызывает механические колебания кристалла. Из кварцевых пластин изготавливают электронные устройства - кварцевые резонаторы. С электрической точки зрения они эквивалентны последовательному колебательному контуру с очень высокой добротностью .

4.5. Частотные характеристики контура

Под частотными характеристиками последовательного колебательного контура (рис. 4.2) понимают зависимость от частоты характеристик комплексного коэффициента передачи по напряжению вида

(4.29)

или

, (4.30)

где - комплексная амплитуда напряжения на емкости (обычно полагают, что потери в емкости отсутствуют), - комплексная амплитуда напряжения на последовательном со-

единении индуктивности с ее сопротивлением потерь (напряжение на реальной катушке индуктивности).

Рассмотрим комплексный коэффициент передачи напряжения емкости (аналогичный анализ проведите самостоятельно). Из (4.29) с учетом (4.11) получим

. (4.31)

Из (4.31) АЧХ и ФЧХ контура имеют вид

, (4.32)

. (4.33)

Частотные характеристики последовательного колебательного контура при мГн, нФ для двух значений Ом (сплошные линии) и Ом (пунктир) в различных масштабах показаны на рис. 4.10 в координатах абсолютной расстройки. Кривые резко возрастает при приближении частоты сигнала к резонансной частоте контура (4.25). Максимум коэффициента передачи имеет место приближенно

на частоте и равен добротности контура,

. (4.34)

Рис. 4.10

На рис. 4.10а приведены АЧХ в абсолютном, а на рис. 4.10б в относительном масштабах по оси ординат. На рис. 4.11 показаны ФЧХ этих контуров.

Рис. 4.11.

Как видно, с ростом сопротивления потерь в колеба-

тельном контуре максимум АЧХ падает (так как уменьшается добротность) и кривая АЧХ становится «шире», а ФЧХ – более пологой.

По форме АЧХ видно, что последовательный колебательный контур является узкополосным частотным фильтром.

4.6. Обобщенная расстройка

Исследование частотных характеристик колебательного контура удобнее всего проводить в координатах обобщенной расстройки , равной

. (4.35)

Как видно, она зависит от частоты сигнала и параметров контура. Проведем преобразования

. (4.36)

Обозначая абсолютную расстройку

, (4.37)

и приближенно полагая в первой дроби , получим

. (4.38)

Из (4.38) видно, что обобщенная расстройка прямо пропорциональна абсолютной расстройке, то есть частоте сигнала (начало координат смещено в точку ).

4.7. Частотные характеристики в координатах обобщенной

расстройки

Комплексное входное сопротивление контура (4.1) в координатах можно записать в виде

, (4.39)

а его модуль, аргумент, активную и реактивную составляющие соответственно

(4.40)

Эти характеристики как функции обобщенной расстройки показаны на рис. 4.12. Сплошной линией показаны точные, а пунктирной – приближенные значения, полученные из (4.40).

Рис. 4.12

Проведем расчет комплексного коэффициента передачи, приближенно заменив в числителе (4.31) на ,

. (4.41)

Частотные характеристики последовательного колебательного контура в координатах обобщенной расстройки имеют вид

, (4.42)

(4.43)

Зависимости АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 4.13 пунктирными линиями. Их точные значения показаны сплошными кривыми.

Как видно, расчеты частотных характеристик в координатах обобщенной расстройки имеют вполне удовлетворитель-

ную точность в достаточно широкой окрестности резонансной частоты, то есть там, где они и представляют практический интерес.

Рис. 4.13

С помощью обобщенной расстройки можно проводить расчеты токов и напряжений в контуре:

, (4.44)

, (4.45)

, (4.46)

, (4.47)

Выражения и вычисления существенно упрощаются.

Запишите самостоятельно выражения для амплитуд и начальных фаз тока и напряжений на элементах контура. Постройте их зависимости от частоты и обобщенной расстройки, оцените погрешность вычислений в координатах .

4.8. Полоса пропускания и коэффициент

прямоугольности

Определим полосу пропускания контура, расчет проведем в координатах обобщенной расстройки (рис. 4.14).

Максмум АЧХ контура равен добротности , тогда полоса пропускания определяется на уровне

.

С учетом (4.42) урав-

нение имеет

вид Рис. 4.14

(4.48)

и его решения равны

Интервал обобщенной расстройки в полосе пропускания

,

с другой стороны из (4.38)

,

тогда получим уравнение

,

а полоса пропускания будет равна

. (4.49)

Как видно, полоса пропускания контура с заданной частотой настройки определяется только его добротностью. Высокодобротный контур позволяет реализовать узкополосный частотный фильтр. Как уже отмечалось, большие значения обеспечить достаточно сложно.

Для определения коэффициента прямоугольности необходимо найти полосу пропускания контура на уровне 1/10 от максимума. Для этого составим уравнение в координатах ,

, (4.50)

решения которого равны

Интервал величин обобщенной расстройки в полосе пропускания на уровне 1/10 от максимума равен

,

тогда получим уравнение

,

а полоса пропускания будет равна

. (4.51)

В результате коэффициент прямоугольности колебательного контура оказывается равным

.

Как видно, последовательный колебательный контур является полосовым частотным фильтром с низкой избирательностью.

Дата добавления: 2014-11-25