Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет вид:

Например:

Решение системы можно получить с помощью определителей.

Определитель, детерминант, квадратной матрицы второго порядка
вычисляется по формуле: det_A=а₁₁*a₂₂ – а₁₂*a21 = 4*2-3*6= -10; Если коэффициенты при переменной х заменить cсвободными членами b₁; b₂, то дополнительный определитель det_x = b₁*а₂₂-b₂*a₁₂ = 66*2-32*6 = -60. Соответственно, заменив в исходной матрице коэффициенты а₁₂ на b₁ и а₂₂ на b₂ получим матрицу

a11 a21

b1 b2

и её определитель det_x = b₂*а₁₁-b₁*a₂₁ = 4*32 - 3*66 = -70

Если определитель det_A ≠ 0, то значение переменной х = det_X / det_A;

Соответственно, у = det_Y / det_A

В нашей системе уравнений: х = -60/-10 = 6;

у = -70/-10 = 7

А теперь решим ту же систему уравнений, но с помощью встроенной функции МОПРЕД(). Коэффициенты при переменных X; Y формируют ос­новную матрицу В2:СЗ. Её определитель вычислим в ячейке D6. Курсор в ячейку D6. Выбираем в мастере функций МОПРЕД(), указываем интервал матрицы, ОК. Далее в ячейках D7; D8 вычисляем определители по X и по Y. (Для этого заменяем сначала первый столбец основной матрицы на столбец свободных членов, потом второй столбец.) Находим решение (рис. 5.8)

Для систем уравнений с большим количеством переменных подойдет другой способ решения - метод обратной матрицы.

Вектор решений Х=А^-1*В, где А^-1 – обратная матрица коэффициентов при переменных, а В - столбец свободных членов.

Решим систему:

Запишем коэффициенты при переменных в виде матрицы В2:Е5.

Следует отметить, что основное отличие операций над матрицами от других вычислений является то, что их ввод заканчивается не клавишей Enter, а комбинацией Ctrl+Shift+Enter для того, чтобы ввести набранную формулу в качестве формулы массива. При этом формула берется в фигурные скобки.

Вычислим обратную матрицу. Для этого:

1) выделите область I2:L5, мастер функций, Математические, МОБР;

2) в диалоговом окне введите ссылку на исходную матрицу (В2:Е5);

3) одновременно нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис.5.9).

Найдем переменные Х₁,..,Х₄, для этого вычислим произведение об­ратной матрицы на столбец свободных членов:

1) выделите ячейки N10:N13 для результата;

2) в мастере функций выберите МУМНОЖ;

3) введите ссылку на перемножаемые диапазоны:12:L5 и G2:G5;

4) одновременно нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Дата добавления: 2014-11-08