Скорость точки. Естественный способ задания движения точки

Естественный способ задания движения точки.

Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться, когда траектория точки известна заранее. Пусть кривая AB является траекторией точки M при её движении относительно координат Oxyz (рис. 2.2). Выберем на этой траектории точку (неподвижную) О и примем её за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направление отсчета. Положение точки M на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой S, которая равна расстоянию от точки О до точки M, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При перемещении точки расстояние S с течением времени будет изменяться.

Рисунок 2.2 – Естественный способ задания движения точки

Чтобы знать положение точки M на траектории в любой момент времени надо знать зависимость

.

(2.7)

Это уравнение и выражает закон движения точки M вдоль траектории.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием знака (+ или –); 3) закон движения точки вдоль траектории в виде .

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

При естественном способе задания движения точки заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде S=f(t).

В этом случае значения и определяют по их проекциям не на оси системы отсчета Oxyz, а на подвижные оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею(рис.2.7). Эти оси называют осями естественного трехгранника (или скоростными осями) и направлены они следующим образом:

ось Мτ – по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния S;

ось Mn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей.

Mn – называется главной нормалью, если она лежит в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), перпендикулярная ей нормаль Mb – бинормалью.

Рисунок 2.7

Найдем значение скорости точки . Если за промежуток времени точка совершит вдоль дуги траектории перемещение Δ S (рис. 1.2), где одновременно Δ S – приращение координаты S, то численно средней скоростью точки за этот промежуток времени будет и в пределе, найдем, что

или .

(2.19)

Таким образом, числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) S этой точки по времени.

Значение скорости V можно также находить как отношение элементарного перемещения dS точки к соответствующему промежутку времени dt. Так как всегда dt> 0, то знак скорости совпадает со знаком dS. Следовательно, когда V> 0, скорость направлена в сторону положительного отсчета расстояния S, а когда V <0, - в противоположную сторону. Таким образом, величина V одновременно определяет и модуль скорости, и сторону, куда она направлена.

Дата добавления: 2014-11-25