Пример решения задачи

Условие: На столе лежит брусок массой m ₁ = 4 к г. К бруску привязан один конец нити, другой конец которой перекинут через блок, закрепленный на краю стола. К свободному концу нити подвешен груз массой m ₂=1 к г. Коэффициент трения между бруском и столом равен k. Найти силу натяжения нити Т и ускорение а, с которым будет двигаться брусок. Массой блока пренебречь, нить считать невесомой и нерастяжимой.

Решение: Геометрия задачи показана на рисунке.

Для решения задачи воспользуемся законами Ньютона, которые описывают движение тел под действием внешних сил. Прежде всего, выберем оси координат x и y как показано на рисунке и расставим силы, действующие на брусок и на груз. На брусок действуют сила тяжести m ₁ g, сила реакции опоры N, сила со стороны нити Т ₁ и сила трения F _т. На груз действуют сила тяжести m ₂ g и сила со стороны нити Т ₂.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности.

Для бруска имеем

m ₁ a = N + m ₁ g + T ₁ + F _т. (1)

Для груза имеем

m ₂ a = m ₂ g + T ₂. (2)

Из рисунка, очевидно, что под действием силы тяжести груз будет опускаться, перемещаясь в положительном направлении оси y, а брусок будет при этом двигаться с ускорением вдоль оси x.

Чтобы решить систему уравнений (1) - (2), спроецируем уравнения на оси координат. Проекция уравнения (1) на ось x дает:

m ₁ a = T ₁ - F _т. (3)

Проекция уравнений (1) и (2) на ось y дает, соответственно:

0 = - N + m ₁ g, (4)

m ₂ a = m ₂ g - T ₂. (5)

Уравнение (4) отражает тот факт, что брусок не перемещается вдоль оси y. Поскольку нить по условию задачи нерастяжима, то силы T ₁ и T ₂ равны по величине и противоположны по направлению. Обозначим T ₁ = T ₂ = T. Сила трения следующим образом выражается через силу реакции опоры F _т = kN.

Таким образом, используя уравнения (3) - (5) и принятые обозначения, находим, что движение бруска и груза описывается следующей системой уравнений:

m ₁ a = T - km ₁ g, (6)

m ₂ a = m ₂ g - T (7)

Складывая уравнения (6) и (7), получаем искомую формулу для ускорения, с которым будет двигаться брусок

(8)

Подставляя выражение (8) в уравнение (6), находим силу натяжения нити

(9)

Проверим размерность полученных величин:

[…/c²] =[…/c²] (ускорение),

[…/c²] =[k…/c²] =[H] (сила)

Найдем численные значения ускорения бруска и силы натяжения нити, подставив в (8) и (9) массы в [к г ] и ускорение в [м/c²]:

[м/c²], [H]

Ответ: а =1,176 м/с², Т =8,624 Н.

Дата добавления: 2014-11-25