Примерные билеты для проведения экзамена

Государственного экзамена по математике (письменно).

Образец экзаменационной работы для проведения

1. Вычислите:

3 1 1

2 2 2

1 1 1

3 2 6

5 18 2

9 5 9







.

2. Решите неравенство: 0

7 2 6 1





 

x

x x.

3. Решите уравнение: 2 x 2  3 2 x  56.

4. Найдите промежутки убывания функции f (x)  2 x 3  9 x 2  24 x.

5. В треугольнике ABC: АС = ВС = 13,

sin A  12. Найдите АВ.

6. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен

4, высота равна 5. Найдите объем параллелепипеда.

7. Радиус основания конуса равен 15, расстояние от центра основания до образующей равно

12. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

8. Решите уравнение: 5  7sin x  2 cos2 x  0.

9. Решите неравенство: log  2 14  5

1 x  x  .

10. Решите систему уравнений:

 



 





 

 

.

1 10

,

1 2

y

x

y

x

по математике (геометрия)

Билет № 1

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые (определение).

2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания равна 6 см.

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 20  м2, а расстояние от центра шара до секущей

плоскости равно 4 м. Найдите объем шара.

Билет № 2

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение).

2. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катет которого равен 40 м, а гипотенуза

равна 41 м. Высота пирамиды равна 20 м. Найдите объем пирамиды.

3. На окружностях оснований цилиндра отмечены точки А и В так, что АВ = 10 м, а угол между

прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен 30°. Расстояние от точки А до центра

основания, содержащего точку В, равно 13 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол

в 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной, равной 2  м. Найдите объем

цилиндра.

Билет № 4

1. Параллельность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем такой пирамиды.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а расстояние от центра

основания до образующей равно 3 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Билет № 5

1. Перпендикулярность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.

3. На сфере расположены точки А, В и С так, что АВ = 6 м, ВС = 8 м, АС = 10м. Расстояние от

центра сферы до плоскости АВС равно 12 м. Найдите площадь сферы.

Билет № 6

1. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

2. Прямоугольник, стороны которого равны 2 см и 5 см, вращается вокруг меньшей стороны.

Найдите объем тела вращения.

3. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 13 см, а диагональ основания

равна 10 2 см. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 7

1. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Радиус основания цилиндра равен 6 м, а расстояние от центра одного основания до точки

окружности второго основания равно 10 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 2 м, боковое ребро равно

13 м. Найдите объем пирамиды.

Билет № 8

1. Параллельность плоскостей (признаки и свойства).

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, а диагональ равна 7

см. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно 6 м.

Билет № 9

1. Перпендикулярность плоскостей (признаки и свойства).

2. Прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 м, а гипотенуза равна 5 м, вращается

вокруг большего катета. Найдите объем тела вращения.

3. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 6 3 м, а сторона

основания равна 6 м. Найдите угол между прямыми АВ 1 и CD 1.

Билет № 10

1. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между параллельными плоскостями.

2. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. Найдите площадь боковой

поверхности конуса.

3. Стороны АВ и AD основания прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равны 6 м и 8 м,

угол между диагональю АС 1 параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите синус

угла между прямой АС 1 и плоскостью АВВ 1.

Билет № 11

1. Призма, ее основания, боковые ребра, высота. Прямая и правильная призмы.

2. Диагональ куба равна 2 3 м. Найдите площадь его полной поверхности.

3. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24 

см. Найдите объем шара.

Билет № 12

1. Площади боковой и полной поверхностей призмы.

2. Образующая конуса равна 13 м, а радиус основания равен 5 м. Найдите объем конуса.

3. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 27 дм2, а периметр

основания равен 18 дм. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Куб (определения, свойства ребер, граней).

2. Высота конуса равна 6 м, а диаметр основания равен 12 м. Найдите угол между образующей

конуса и плоскостью его основания.

3. Концы бокового ребра правильной треугольной призмы удалены от противолежащей этому

ребру стороны основания на 2 3 м и 4 3 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Билет № 14

1. Симметрии в кубе.

2. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите

объем конуса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости

основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет № 15

1. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота. Правильная пирамида.

2. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см.

Найдите объем шара.

3. Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 равны 6 3 м каждое, а

остальные ребра равны 3 2 м каждое. Найдите угол между прямыми А 1 С и В 1 D.

Билет № 16

1. Правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр).

2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 4 см, а диагональ

основания равна 6 2 см.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 16  м2, а площадь параллельного ему сечения,

проходящего через центр шара, равна 25  м2. Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Билет № 17

1. Цилиндр, его основания, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды МАВСD с вершиной М равно стороне ее

основания. Найдите угол между прямыми АВ и СМ.

3. Основание прямой призмы – ромб с высотой 2 дм. Площадь боковой поверхности призмы равна

96 дм2, а площадь полной поверхности равна 128 дм2. Найдите высоту призмы.

Билет № 18

1. Конус, его основание, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите сумму длин всех

диагоналей параллелепипеда.

3. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD площадь основания АВСD равна 32 см2, а

площадь треугольника МАС равна 16см2. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Билет № 19

1. Шар и сфера, их сечения.

2. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3 м, а боковое ребро равно 6 м.

Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

3. Хорда основания цилиндра равна 32 см и удалена от центров его оснований на 12 см и 13 см.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Билет № 20

1. Формулы объема призмы, прямоугольного параллелепипеда, куба.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол

45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь боковой поверхности конуса равна 60  м2, а радиус основания равен 6 м. Найдите

расстояние от центра основания до образующей конуса.

Билет № 21

1. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 м и 12 м,

боковое ребро призмы равно 10 м. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 4 см, а угол наклона

образующей конуса к плоскости основания равен 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Билет № 22

1. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с

плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Угол между диагональю АС 1 прямоугольного параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью

основания АВСD равен 30°, а диагональ боковой грани DС 1 наклонена к плоскости основания под

углом 45°. Высота параллелепипеда равна 3 см. Найдите его объем.

Билет № 23

1. Формулы площади поверхности и объема конуса.

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 м и 8 м, боковое ребро равно 10

м. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

3. Найдите периметр треугольника АВС, если А (–1; 1; –2), В (20; 1; –2), С (5; 1; 6).

Билет № 24

1. Формулы объема шара и площади сферы.

2. Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 – треугольник АВС, в котором угол C = 90°, АС = 3 см,

ВС = 4 см. Найдите расстояние от прямой СС 1 до плоскости грани АВВ 1 А 1.

3. Радиус основания конуса равен 5 м, а тангенс угла наклона образующей к плоскости основания

равен 2,4. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Билет № 25

1. Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для нахождения расстояния между

двумя точками, заданными своими координатами.

2. Площадь сферы равна 100  м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м.

Найдите радиус сечения.

3. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Высоты боковых граней,

проведенные из вершины пирамиды, образуют с высотой пирамиды углы, равные 30°. Найдите

объем пирамиды.

4.Примерные билеты для проведения экзамена

по математике (алгебра и начала анализа)

Билет № 1

1. Понятие возрастающей функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства степеней с действительным показателем. Доказательство одной из теорем о свойствах

степеней с рациональным показателем.

3. Решите уравнение: log4 x + log43 = log415.

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x 2  3, x = 2, x = 5, y = 0.

Билет № 2

1. Понятие о точках максимума (минимума) функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Вывод общей формулы корней уравнения sin x = а.

3. Вычислите:  5 0,016  5  0,02.

4. Решите неравенство log2 (2,5 x +1) ≤ -2.

Билет № 3

1. Понятие о степени с рациональным показателем.

2. Основное свойство первообразной, его геометрическая иллюстрация.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 1 + sin х в

точке с абсциссой x 0 = p.

4. Решите неравенство: log 1,8 3 1

5 x   .

Билет № 4

1. Понятие убывающей функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Показательная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Точка движется по координатной прямой согласно закону x (t) = 4 t 2 – t, где х (t) – координата

точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = 2.

4. Найдите наименьшее значение функции 







  

4 3 sin

 x y, если 







; 9

5   x.

Билет № 5

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (x) = 2 – x 2 + 3 x 4 в

точке с абсциссой x 0 = –2.

4. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции y  8 5  4 x 13.

Билет № 6

1. Понятие производной, ее механический смысл.

2. Вывод общей формулы корней уравнения cos х = а.

3. Упростите выражение: log 3,5

log 14 log 49 7 7 7  .

4. Найдите значение функции

2 () 3 ()

3 () 2 ()

g x g x

y f x f x

 

 

 в точке 0 x, если известно, что функция у = f (x)

– четная, функция y = g (x) – нечетная, f (x 0) = 5, g (x 0)=1.

Билет № 7

1. Понятие производной, ее геометрический смысл.

2. Вывод общей формулы корней уравнения tgx  a.

3. Вычислите 3  0,3  3  0,09.

4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y  3cos x  2 x в

его точке с абсциссой

0 2

x  .

Билет № 8

1. Понятие синуса числа, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства корней n -й степени. Доказательство одной из теорем.

3. Решите уравнение 0

cos x  2 .

4. Найдите множество значений функции y x 0,5  7  log.

Билет № 9

1. Понятие косинуса числа, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства логарифмов. Доказательство одной из теорем (по выбору учащегося).

3. Найдите первообразную функции f (x) = ex – x 3.

4. Решите уравнение 2 x -1 + 2 x -2 + 2 x -3 = 448.

Билет № 10

1. Понятие о первообразной функции.

2. Функция y = tg x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Решите уравнение log5(8 x) = log527 – log53.

4. Найдите область определения функции

5 6 2

1 1

x x

y

 







  .

Билет № 11

1. Нахождение скорости процесса, заданного формулой.

2. Функция y = sin x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Вычислите:

log 14 log 32 5 .

4. Решите уравнение 2 2 1 84 1 5  0 x    x .

Билет № 12

1. Формула Ньютона – Лейбница.

2. Функция y = cos x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Упростите выражение

5 7

5 2

t

t.

4. Решите уравнение (30,5 x +7 – 9)log2(5 + 2 x) = 0.

Билет № 13

1. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, пример.

2. Синус и косинус двойного угла.

3. Найдите значение выражения

 c

c при c  4.

4. Решите уравнение 3 log 4 5  0

6 2   







   x x.

Билет № 14

1. Понятие экстремума функции, пример.

2. Формулы сложения тригонометрических функций и следствия из них. Доказательство одной из

формул и следствия из нее.

3. Упростите выражение: 7 314 a 7.

4. Решите уравнение 2 – log4(x + 3) = log4(x + 3).

Билет № 15

1. Понятие четной функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции.

3. Найдите значение выражения:

0,5

0,5

0,5





 y

y

y

y при y  18.

4. Решите уравнение log2(9 х –1 + 7) = 2log2(3 х –1 + 1).

Билет № 16

1. Понятие тангенса числа.

2. Степенная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Упростите выражение (cos x – sin x)2 + 2sin x cos x.

4. Решите неравенство log log  9 0 0,8 0,8 x  x  .

Билет №17

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Правила вычисления первообразных. Доказательство одного из правил.

3. Решите неравенство    0

1 5 3

5 

 



x x

x.

4. Найдите длину промежутка возрастания функции

() 52 



x

f x x.

Билет № 18

1. Логарифм числа, пример.

2. Таблица первообразных элементарных функций.

3. Решите уравнение 7 ∙ 3 x +3 + 3 x +2 = 22.

4. Найдите наибольшее значение функции 







  

4cos

 x y на промежутке 







;17

5  

.

Билет № 19

1. Формулы приведения, примеры.

2. Теорема о производной суммы двух функций.

3. Упростите выражение

log 75

log 35 5 5 .

4. Решите уравнение 10 46 100012 3 15 2 x    x  = 0.

Билет № 20

1. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

2. Достаточные условия возрастания функции.

3. Решите уравнение 3 x  4  x.

4. На рисунке изображен график функции y

= f (x), заданной на промежутке (–3; 6). Укажите

множество значений этой функции.

Билет № 21

1. Понятие котангенса числа, пример.

2. Таблица производных элементарных функций (степенной, синуса, косинуса). Доказательство

одной из формул.

3. Найдите значение выражения 6  4,5log4,5 9.

4. Найдите наибольшее значение функции 







  

4 cos

 x y на промежутке 







; 3

7  

.

Билет № 22

1. Понятие нечетной функции, пример, иллюстрация на графике.

2. Производная показательной функции.

3. Решите уравнение 2sin x = –1.

4. Найдите множество значений функции y = 3 + log5(5– x) на промежутке [–1; 3].

Билет № 23

1. Понятие степени с рациональным показателем.

2. Касательная. Вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой функции в данной

точке.

3. Решите уравнение   3

cos sin  







 x    x 

.

4. Найдите наименьшее значение функции y = 5 + log2(2 x) на отрезке [–3;1].

Билет № 24

1. Понятие периодической функции, пример, иллюстрация на графике.

2. Достаточные условия убывания функции.

3. Найдите значение cosα, если

sin   2 и 





 



;

.

4. Решите уравнение 3 log 4 5  0

6 2   







   x x.

Билет № 25

1. Логарифм числа, пример. Формула перехода к новому основанию логарифма.

2. Достаточные условия существования максимума (минимума) функции.

3. Решите уравнение 2cos x – 1 = 0.

4. Найдите промежутки возрастания функции y = ex – x.

Дата добавления: 2014-11-25