Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

Вопросы лекции.

Тема лекции. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

3. Формула Тейлора.

Следующие теоремы применяются при исследовании функций и построения их графиков.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

В самом деле, пусть функция дифференцируема на промежутке и в точке принимает наименьшее значение. Тогда и следовательно при достаточно малых независимо от знака . Отсюда при при .

Переходя к пределу при (справа) и при (слева) получим и . По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, ее предел при не зависит от способа стремления (справа или слева), то есть . Это будет в случае если .

Аналогично доказывается для случая, когда функция в точке принимает наибольшее значение.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем в точке наибольшего или наименьшего значения функции достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля. Если функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке , 2) дифференцируема на интервале , 3) на концах отрезка обращается в нуль, то есть , то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна нулю .

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл, найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс в этой точке производная и будет равна нулю. На рисунке их две и .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке , 2) дифференцируема на интервале . Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка , в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть

.

Геометрический смысл этой теоремы, следующий дробь

есть угловой коэффициент касательной хорды , стягивающей концы графика функции на отрезке , если перемещать хорду, то найдется хотя бы одна точка в которой касательная к графику функции и хорда параллельны (так как их угловые коэффициенты равны).

Равенство называется формулой Лагранжа.

Дата добавления: 2014-11-26