Угол между прямыми. Условия параллельности и

Прямых

Лекция № 4. Задачи аналитической геометрии Понятие уравнения линии Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Смешанное произведение векторов.

Определение Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.

Обозначение: abc = [ ab ] c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].

2) Если a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc = .

Контрольные вопросы:

1.Векторы.

2Линейные операции над векторами.

3.Проекция вектора на ось

4.Декартова система координат.

5. Скалярное произведение векторов

6. Векторное произведение векторов

7. Смешанное произведение векторов

Литература: [3, с. 115,120 ],[8, с.91,121]

Цель: Дать понятие линии на плоскости. Рассмотреть различные уравнения прямой. Рассмотреть взаимное расположение прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой.

План:

1. Задачи аналитической геометрии

2. Различные уравнения прямой на плоскости.

3. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности

4. Расстояние от точки до прямой.

1. Задачи аналитической геометрии

1. Расстояние между двумя точками.

Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

2. Деление отрезка в заданном отношении

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Уравнение

Ф(х,у) = 0

называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Пример.

(х – а)² + (y – b)² = R ² - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (a,b).

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии:

где функции и непрерывны по параметру t.

Прямая на плоскости.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = {A,B }. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А (х – х₀) + В (у – у₀) = 0 -

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

2. Преобразуем уравнение к виду:

Ах + Ву + (-Ах₀ – Ву₀) = 0.

Обозначив -Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0.

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = {l,m }. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

,

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать ,

-

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М (1,2) и N (5,-3). Уравнение примет вид:

- общее уравнение данной прямой.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения,

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt -

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l прямой в виде:

у = kx + b -

b l ₁ уравнение прямой с угловым коэффициентом.

α α Действительно, все точки прямой l ₁, параллельной l и проходящей

х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а

ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

на постоянную величину b.

Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

Ах + Ву + С = 0 |:(- C),

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение называют уравнением прямой в отрезках.

перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами { A₁,B₁ } и { A₂,B₂ }. Следовательно,

.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

-условие параллельности,

-условие перпендикулярности ..

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями получим:

,

-условие параллельности,

-условие перпендикулярности.

Здесь и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L ₁ и L ₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k₁x +b₁ и y = k₂x + b₂, где , а α ₁ и α ₂ – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α₂ - α₁. Тогда

.

Условие параллельности имеет вид: k₁=k₂,

условие перпендикулярности – k₂=-1/k₁,

поскольку при этом tgφ не существует.

4. Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

у

Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

L ОР равна р. С другой стороны, пр_n OM = n·OM. Поскольку

Р n ={cosα, sinα}, a OM ={x,y}, получаем, что

n Mx cosα + y sinα = p, или

О х x cosα + y sinα ­­- p = 0 -

- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

Определение Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Контрольные вопросы:

1. Задачи аналитической геометрии

2. Различные уравнения прямой на плоскости.

3. Угол между прямыми.

4. Условие перпендикулярности и параллельности прямых

5. Расстояние от точки до прямой.

Литература: [3, с. 115,131 ],[8, с.103,141]

Лекция №5. Тема: Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка.

Цель: Дать понятие уравнения поверхности. Рассмотреть различные уравнения плоскости, уравнения прямой в пространстве, взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости в пространстве. Рассмотреть канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Дать понятия осей кривых, эксцентриситета.

План:

Дата добавления: 2014-11-09