Метод контурных токов (МКТ)

1. Используя понятие эквивалентности цепей заменяем источник тока источником напряжения . Этой заменой мы уменьшаем количество контуров, а следовательно, и уменьшаем порядок системы линейных уравнений. При этом схема цепи рис. 2.7 приобретает вид рис. 2.8.

2. Вводим вспомогательные функции – контурные токи, представляющие собой ориентированные токи, протекающие в системе независимых контуров рассматриваемой цепи (система контуров является независимой, когда в ней каждый последующий контур отличается от предыдущих одной новой ветвью).

В нашем случае имеется три независимых контура. Пронумеруем их и произвольно выберем направление контурных токов. Пусть контурные токи направлены по часовой стрелке, а контурный ток направлен против часовой стрелки.

Рис. 2.8 Вид схемы цепи рис. 2.7 после эквивалентной замены источника тока источником напряжения

3. На основании второго закона Кирхгофа составляем систему линейных уравнений. Воспользуемся матричной формой записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Поскольку имеется три независимых контура, то и СЛАУ будет третьего порядка. В матричной форме СЛАУ будет иметь такой вид:

. (2.18)

Матрица коэффициентов – квадратная матрица, элементами которой являются комплексные сопротивления. На главной диагонали матрицы записываются собственные комплексные сопротивления -ого контура , представляющие собой сумму комплексных сопротивлений всех элементов k-ого контура цепи. Элементы матрицы вне главной диагонали () – взаимные комплексные сопротивления элементов ветви, общей для -го и -го контуров. При этом, если направление контурных токов и совпадает (согласовано) в общей ветви, то приписывается знак плюс. Если выбранные направления контурных токов оказываются встречными в общей ветви, то приписывается знак минус.

Квадратная матрица комплексных сопротивлений умножается на матрицу-столбец искомых контурных токов . В правой части матричного уравнения находится матрица-столбец задающих напряжений источников. Причем, если направление действия источника совпадает с выбранным направлением контурного тока, задающему напряжению приписывается знак плюс, если не совпадает (является встречным), задающее напряжение берут со знаком минус.

Порядок СЛАУ метода контурных токов определяется по правилу: из количества независимых контуров надо вычесть количество источников тока, которые заменяем на источники напряжения (). Матричная модель МКТ описывает электрическое состояние рассматриваемой цепи в - параметрах .

Решение системы контурных уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды контурных токов. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряжения k -го узла имеет вид:

, (2.19)

где – определитель системы уравнений; – алгебраическое дополнение к элементу .

Метод узловых напряжений (узловых потенциалов)

1. Источники напряжения эквивалентно заменяем источниками тока. От комплексных сопротивлений элементов переходим к комплексным проводимостям . После этих замен схема рис. 2.7 принимает удобный для МУН вид (рис. 2.9).

2. В качестве вспомогательных функций, подлежащих определению, выбираем узловые напряжения. Для этого выделяем узлы. Один из них выбираем за отсчетный узел и присваиваем ему номер 0. Остальные узлы пронумеруем (1, 2, 3...). Потенциал отсчетного узла полагаем равным 0. Потенциалы остальных узлов, отсчитываемые от нулевого потенциала, есть искомые узловые напряжения – .

3. На основе первого закона Кирхгофа составляем систему узловых уравнений. В матричной форме СЛАУ будет иметь вид

. (2.20)

Здесь матрица коэффициентов – квадратная матрица. Элементы её главной диагонали – собственные комплексные проводимости -того узла. Они представляют собой сумму комплексных проводимостей пассивных элементов цепи, подключенных -ому узлу. Элемент матрицы вне главной диагонали
() – взаимная проводимость ветви между -ым и -ым узлами. Взаимная проводимость симметрична и всегда записывается со знаком минус. матрица умножается на матрицу-столбец искомых функций – узловых напряжений . В правой части матричного уравнения записывается матрица-столбец задающих напряжений источников. Знак задающих токов определяется правилом, если задающий ток втекает в узел, ему приписывается знак «+», если вытекает из узла, берется со знаком «-».

Порядок СЛАУ определяется количеством узлов за исключением одного узла и количества источников напряжения – . Матричная модель МУН описывает электрическое состояние рассматриваемой цепи в - параметрах .

Решение системы узловых уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды узловых напряжений. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряжения k -го узла имеет вид:

, (2.21)

где – определитель системы уравнений; – алгебраическое дополнение к элементу .

Рис. 2.9 Вид схемы цепи рис. 2.7 после эквивалентной замены источников напряжения источниками тока и комплексных сопротивлений комплексными проводимостями

Следует отметить, что МУН эффективен при анализе электрических цепей, имеющих много параллельных соединений. Много параллельных соединений имеют, например, радиоэлектронные цепи. При выборе метода для составления уравнений цепи следует использовать тот, который обеспечивает меньший порядок СЛАУ.

Дата добавления: 2014-11-16