Построение модели

Задача о коммивояжере.

Задача о радиоактивном распаде.

Транспортная задача.

Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Задача о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/c под углом α = 45⁰ к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

1. Построение модели. Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат хОу, совместив ее начало О с исходной точкой, из которой выпущен снаряд ось х направим горизонтально, а ось у – вертикально (см. рис.).

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

, ,

где t – время, g = 10 м/c² – ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи.

Рисунок 7.1

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Выражая t через х из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

.

Эта кривая (парабола) пересекает ось х в двух точках: х₁ = 0 (начало траектории) и х₂ = (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v₀ и α, получим ответ: у = х – 90х², S = 90 м.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. у = х – 90х² – уравнение, описывающее траекторию движения,расстояние между конечной и начальной точками S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Требуется найти высоту h₀ и радиус r₀ жестяного бака объема V = 30 м³, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

1. Построение модели. Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

, .

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. С математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная обращается в ноль: . Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r_{0 .}, следовательно, в точке r₀ функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀. Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту .

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.

Обозначим через a_ij стоимость перевозки 1 т муки с i -того склада на j -тый завод (i,j = 1,2). Пусть а₁₁ = 1,2 р., а₁₂ = 1,6 р., а₂₁ = 0,8 р., а₂₂ = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

1. Построение модели. Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через х₁₁ и х₁₂ количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через х₂₁ и х₂₂ – со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда получим следующую систему уравнений:

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой: f = 1,2x₁₁ + 1,6x₁₂ +0,8x₂₁ + x₂₂.

С математической точки зрения задача заключается в том, чтобы найти четыре числа х₁₁, х₁₂, х₂₁ и х₂₂, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающие минимум функции f.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решим систему уравнений (1) относительно х_ij (i,j = 1, 2) методом исключения неизвестных (метод Гаусса). Получим, что

а х₂₂ не может быть определено однозначно. Так как (i,j = 1,2), то из системы (2) следует, что . Подставляя выражения из системы (2) для х₁₁, х₁₂, х₂₁ в формулу для f, получим f = 148 – 0,2х₂₂.

Эта функция линейная, с угловым коэффициентом k = -0,2 < 0. Следовательно, она убывает на всем промежутке [30; 70]. Значит, свое наименьшее (минимальное) значение эта функция принимает при х₂₂ = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяем с помощью системы (2): х₁₁ = 40, х₁₂ = 10, х₂₁ = 0.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Стоимость перевозок будет минимальной, если с первого склада на первый хлебозавод будет поставляться 40 т муки, на второй хлебозавод – 10 т муки, а вся мука со второго склада будет поставляться только на второй хлебозавод.

Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N^/(t) пропорциональна N(t), то есть N^/(t) = -lN(t), l > 0 – константа радиоактивности данного вещества.

В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)е^-lt. Время Т, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения Т надо положить в формуле . Тогда . Например, для радона , и, следовательно, Т = 3,15 сут.

Коммивояжеру, живущему в городе А₁, надо посетить города А₂, А₃ и А₄, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в А₁. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b_ij между городами A_i и A_j (i,j = 1, 2, 3, 4) таковы: b₁₂ = 30, b₁₄ = 20, b₂₃ = 50, b₂₄ = 40, b₁₃ = 70, b₃₄ = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой A_i (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 7.2). Получился граф – математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки – числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V₁, V₂,…,V_k, V₁ такая, что вершины V₁, V₂,…,V_k – различны, а любая пара вершин V_i, V_i+1 (i = 1, …, k-1) и пара V₁, V_k соединены ребром. Рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна.

Рисунок 7.2

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в А₁: 1) А₁, А₄, А₃, А₂, А₁; 2) А₁, А₃, А₂, А₄, А₁; 3) А₁, А₃, А₄, А₂, А₁. Найдем теперь длины этих циклов (в км): L₁ = 160, L₂ = 180, L₃ = 200. Итак, маршрут наименьшей длины – это первый.

Заметим, что если в графе п вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно . Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути коммивояжера минимальна, следующий: А₁, А₄, А₃, А₂, А₁ или в обратном порядке.

Дата добавления: 2014-11-16