Теория вероятностей и математическая статистика

Ряды.

151 – 160. Исследовать сходимость числового ряда .

151. 152.

153. ; 154. .

155. ; 156. ;

157. ; 158. ;

159. ; 160. .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Применим признак Даламбера.

Поскольку ; , то

.

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Применим признак сравнения.

Будем сравнивать с гармоническим рядом . Этот ряд, как известно, расходится. Вычислим предел:

.

Так как предел отношения общих членов данных рядов равен константе (в данном случае единице), то ряды ведут себя одинаково в смысле сходимости. Таким образом, исходный ряд также расходится.

161 – 170. Найти интервал сходимости степенного ряда .

161. . 162. .

163. . 164. .

165. . 166. .

167. . 168. .

169. . 170. .

Пример. Найти область сходимости степенного ряда .

Нам дан степенной ряд , следовательно, ; . Найдем радиус сходимости степенного ряда: .

(Замечание. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в некоторых случаях удобнее применить формулу: ).

Данный степенной ряд сходится при .

На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться. Проведем исследование сходимости ряда на концах полученного интервала.

При имеем знакочередующийся числовой ряд . Применим признак Лейбница:

1) ,

2) .

Так как для этого ряда выполняются условия:

1) ,

2) ,

то данный ряд сходится.

При , получаем знакопостоянный числовой ряд . Применим интегральный признак Коши. Положим . Тогда несобственный интеграл

.

Несобственный интеграл расходится, а, следовательно, расходится и числовой ряд.

Окончательно, областью сходимости данного ряда является интервал .

171-180. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

171. , . 172. , .

173. ; . 174. ; .

175. ; . 176. ; .

177. ; . 178. ; .

179. ; . 180. ; .

Пример. ; .

Воспользуемся формулой

заменив в ней на , получим ряд:

он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

Заданная точность будет достигнута, если взять первые два члена разложения, поскольку уже третий член полученного ряда , по модулю меньше 0,001.

181 – 190. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения ,удовлетворяющего начальному условию _.

181. , . 182. , .

183. , . 184. , .

185. , . 185. , .

187. , . 188. , .

189. , . 190. , .

Пример. , .

Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде степенного ряда . По условию задачи .

Из данного дифференциального уравнения находим: .

Дифференцируем исходное уравнение дважды:

;

.

Тогда: , , подставляя найденные значения производных в ряд, получаем: .

Прежде, чем переходить к заданиям, приведем несколько формул, которые будут использоваться при решении задач первой десятки.

При решении задач теории вероятностей часто используют следующие понятия комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, а также правило умножения и правило сложения.

Пусть дано множество N из n объектов.

Определение 1. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками. Общее число различных перестановок из n объектов вычисляют по формуле:

, где , при этом считают, что .

Определение 2. Сочетаниями называют подмножества множества N. Общее число сочетаний из n объектов по m вычисляют по формуле:

.

Определение 3. Размещениями называют упорядоченные последовательности объектов множества N. Общее число размещений из n объектов по m вычисляют по формуле:

.

Правило умножения. Если требуется выполнить одно за другим k действий, которые можно выполнить соответственно , , …, способами, то все k действий вместе могут быть выполнены способами.

Правило сложения. Если два взаимно исключающих друг друга действия могут выполняться соответственно или способами, то выполнить одно любое из этих действий можно способами.

191 - 200. Задание (в него входит шесть задач).

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие А и другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние.

Задание 1.1. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»;

2) хотя бы на одной монете появится «герб»;

3) ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»;

5) хотя бы на одной монете появится «герб»;

6) только на двух монетах появится «герб»;

7) только на одной монете появится «герб»;

8) ни на оной монете не появится «герб»;

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»;

10) хотя бы на одной монете появится «герб».

Задание 1.2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

1) ПРОГРАММА.

2) ПРОГРАММИСТ.

3) ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

4) СТАТИСТИК.

5) СТАТИСТИКА.

6) СОБЫТИЕ.

7) СЛУЧАЙНОСТЬ.

8) ВЕРОЯТНОСТЬ.

9) АЛГОРИТМ.

10) БЛОК-СХЕМА.

Задание 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задание 1.4. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) Р белых шаров;

б) меньше, чем Р, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в табл. 1.

Табл. 1.

Вариант
К
Н
М
Р

Задание 1.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностью р ₁, р ₂, р ₃. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а). только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

, , , .

(Здесь V – номер Вашего варианта.)

Задание 1.6. В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй – M белых и N черных. Из первой урны вынимают случайным образом Р шаров, а из второй – Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а). все шары одного цвета;

б). только три белых шара;

в). хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, L, M, N, Р и Q приведены в таблице 2 по вариантам.

Табл.2.

Вариант
К
L
М
N
P
Q

Дата добавления: 2014-11-18