Метод прогонки

Якщо звичайне диференціальне рівняння (ЗДР) 2-го порядку розв’язати методом скінченних різниць, то початкове ЗДР зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею коефіцієнтів, тобто такою, що кожне рівняння системи має три сусідні невідомі:

(10.11)

Для розв’язання такої системи розроблено спеціальний метод – прогонки. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

(10.12)

з двоточковими граничними умовами:

(10.13)

; , (10.14)

де функції , , неперервні на .

Прийдемо до скінченнорізницевого рівняння

; ; ; ;

. (10.15)

Підставляючи вираз (10.15) у початкове ЗДР (10.12), отримаємо для внутрішніх точок систему скінченнорізницевих рівнянь:

. (10.16)

Після деяких перетворень (10.16) матимемо

; (10.17)

де

; ; . (10.18)

Для похідних на кінцях відрізка інтегрування і знаходимо скінченнорізницеві рівняння виду

; (10.19)

і, підставляючи їх у граничні умови (10.13) і (10.14), отримаємо два рівняння:

(10.20)

Система рівнянь (10.17), (10.20) відносно невідомих являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з три діагональною матрицею коефіцієнтів. Цю систему зручно розв’язати методом прогонки.

Розглянемо суть цього методу.

1. Представимо рівняння (10.17) відносно :

. (10.21)

2. Допустимо, що за допомогою рівнянь (10.20) і (10.21) виключена складова , тоді рівняння будуть мати вигляд

(10.22)

де – деякі коефіцієнти.

3. За аналогією з (10.22) представимо у вигляді

(10.23)

і, підставляючи його в (10.17), матимемо

(10.24)

і, отже,

. (10.25)

4. Порівнюючи вирази (10.22) та (10.25), отримуємо рекурентні формули для визначення коефіцієнтів , вигляду

; , . (10.26)

5. Для визначення виразу для та використовуємо рівняння (10.20) та (10.22):

; (10.27)

та . (10.28)

Порівнюючи останні дві нерівності, знаходимо:

; . (10.29)

На основі формул (10.17) та (10.29) послідовно визначаємо коефіцієнти до і включно. Процес знаходження коефіцієнтів називають прямим ходом методу прогонки.

Зворотній хід методу прогонки починається з визначення . Використовуючи другу граничну умову (10.20) та формулу (10.22), отримуємо систему з двох рівнянь:

(10.30)

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо:

. (10.31)

Тепер за формулою (10.22) послідовно знаходимо розв’язок початкового ЗДР:

Таким чином, метод прогонки достатньо простий, легко алгоритмізується та включає прямий та зворотній хід. Причому:

1) прямий хід полягає в знаходженні коефіцієнтів за рекурентними формулами (10.26);

2) зворотній хід полягає у знаходженні розв’язку початкового ЗДР за формулою (10.22).

Схему алгоритму методу прогонки показано на рис. 10.1.

Рисунок 10.1- Схему алгоритму методу прогонки

Дата добавления: 2014-11-08