Параметри вибірки. Розподіл середніх значень

На експерименті ми отримуємо не генеральні сукупності, параметри яких обговорювалися вище, а вибірки скінченого об'єму . При цьому виникають наступні питання:

1. Як по параметрах вибірки оцінити параметри генеральної сукупності?

2. Яку величину взяти за міру точності результату?

3. Яке співвідношення між довірчими інтервалами і довірчою ймовірністю?

Основні параметри вибірки:

1. Вибіркове середнє - .

2. Дисперсія вибірки - .

Для різних вибірок (серій вимірювань) одного і того ж об'єму n ми будемо отримувати різні значення як , так і . Усереднивши x по великому (в граничному випадку рівному нескінченності) числу вибірок, ми отримаємо . Усереднюючи знайдемо співвідношення: . Тому для того, щоб виконувалось це співвідношення в знаменнику виразу повинно стояти не , як у виразі (2) а .

Ці результати підказують, що, маючи в розпорядженні одну вибірку, в якості якнайкращого наближення до слід узяти , а якнайкращою оцінкою буде .

Значення - випадкова величина. Узявши за якнайкращу оцінку вимірюваної величини, ми повинні з'ясувати, як поводиться відхилення величини від істинного значення, оскільки саме це відхилення, а не розкид окремих вимірювань, визначить похибку остаточного результату експерименту. Теорія і досвід показують, що розкид значень залежить від числа вимірювань в кожній серії. Чим більше вимірювань в серіях, тим менше виявляється розкид середніх значень, іншими словами, тим точніше середнє значення відповідає істинному. Якщо число вимірювань скінчене то рівність уже не буде точною, але і у цьому випадку є найкращою оцінкою істинного значення х. Позначимо цю знайдену оцінку через :

Якщо ми провели невелике число вимірювань і знайшли оцінку істинного значення то нас буде цікавити якість цієї оцінки.

Оскільки величина є випадковою величиною, тому теж потрібно говорити про розподіл величини , тобто про ймовірність отримати різні значення . В теорії похибок доведено, що якщо розподіл є гаусовим, то і розподіл оцінки буде мати таку ж функціональную форму:

Центр цього розподілу, природно, також лежить при , але величина дисперсії буде іншою і визначатиметься за формулою .

Дисперсія середнього із результатів вимірювань в разів менша, ніж дисперсія результату окремого вимірювання, отже - оцінка для x_іст, в разів краща, ніж будь-який з одиничних вимірів .

Таким чином, для скінченої вибірки дисперсію середнього значення розраховують за формулою:

.

Цю величину називають середньоквадратичним відхиленням середнього значення, і дана величина може бути прийнята за міру похибки, що міститься в оцінці . Для більш повного оцінки цієї похибки вводять поняття довірчої ймовірності і довірчого інтервалу, зміст яких розглянемо нижче.

Дата добавления: 2014-11-18