КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры решения для практикиПример 1. . Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов. Пример 2. Вычислить . Решение. Сравним наш интеграл стабличным У нас , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной замене переменной: если , то . В интеграле , т.е. а = 2, следовательно
. Проверим полученный результат дифференцированием Интеграл взят правильно.
Пример 3. , т.е. . Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»
, где t = g (x)
У нас . Тогда Пример 4. , т.е. . Решение. Так как , то то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала», . Тогда . Домножим в числителе на 3, при этом надо и знаменатель умножить на 3. .
Проверим дифференцированием . Пример 5. Найти . Решение. Используем теорему о замене переменной
.
Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит множитель который является дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной: t = arctg x. Отсюда dt = d(arctg(x)) = и earctg x = et. Подставляя в исходный интеграл, имеем = earctg x + C. Пример 6. Найти . Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx. Поэтому Пример 7. Найти . Решение. Используем метод интегрирования по частям
Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
= - x cosx + = - x cosx + sinx + C. Пример 8. Найти . Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
Следовательно
Пример 9. Найти . Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень -1 имеет кратность два. Разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
Следовательно Пример 10. Найти . Решение. Используем метод разложения на простейшие, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители Так как коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать, то . . Следовательно
Здесь использовано
Пример 11. Найти . Сделаем замену переменной, позволяющую избавится от иррациональности
Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы
Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы
Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий
Рис.1.
Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S1) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S2). Таким образом S = S1 – S2 Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла ед 2. Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл
.
Теперь можно вычислить и искомую площадь
S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5
Ответ: S =12 – 5 ln5 ед 2. Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой . Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .
Рис. 2.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где , . . Ответ: .
Раздел 7. Функции многих переменных. Ряды.
Глава 1. Функции двух переменных. Основные определения. Приращения функции.
Пусть на плоскости ХY задана область D. Каждой точке М этой области соответсвует упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты. Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону f число z, то говорят, что задана функция двух переменных
z = f (x, у) (1.1) Область D называется областью определения функции. Множество Z ={z} образует область значений функции. График функции f (x, y) - поверхность в пространстве (рис 1.1), эту поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть область D.
Рис.1.1. Функция двух переменных.
Функция двух переменных может быть также задана в виде таблиц. Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например, функцию трех переменных u = f (x, y, z,) можно интерпретировать как плотность вещества в объемной области D. Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и наглядным случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций произвольного числа переменных. Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости, перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии сеченияповерхности σ плоскостью функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии сечения проектируют на плоскость ХY и называют линиями уровня (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Линии уровня.
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М0(x 0, y 0), если имеет место равенство
и точка М(x, y) стремится к М0(x 0, y 0) оставаясь все время в области определения функции. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего наименьшего m и наибольшего M значений. Приращения функции двух переменных. Выберем в области определения функции точку М0 с координатами x 0 и y 0 т.е. М0(x 0, y 0) и точку М1 с координатами x 1 и y 1 М1(x 1, y 1) (рис.3). вычислим в этих точках значения функции z 0 = f(x 0, у 0) и z 1 = f(x 1, у 1).
Рис. 1.3. Приращения функции двух переменных
Полным приращением функции двух переменных Δz называется разность ее значений в точках М1 и М0
. (1.2)
Сделаем дополнительное построение. Построим точку М2(x 1, y 0) и М3(x 0, y 1). Частным приращением по аргументу х Δхz называется разность значений функции в точках М2 и М0
, (1.3)
а частным приращением по аргументу у Δуz называется разность значений функции в точках М3 и М0
. (1.4)
Сумма частных приращений, в общем случае, не совпадает с полным приращением.
Глава 2. Частные производные
Частной производной от функции двух переменных f (x, y) по переменной х при y = y 0 называется предел, при Δ х стремящемся к нулю, отношения частного по х приращения функци к вызвавшему его приращению аргумента Δ х (если этот предел существует и конечен). Так как y0 любое фиксированное число из области допустимых значений, то его можно заменить на просто у. Тогда
Частная производная от функции f (x, y) по переменной y определяется и обозначается аналогичным образом
То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f (x, y) по х второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная производная по y, то х принимается постоянной величиной.
Пример 1. Вычислить частные производные zx¢ и zy¢ от функции
f (x, y) = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
Решение. В соответствии с определением, имеем
f x¢(x, y) = 3 x 2 y 2 + cos x и f y¢(x, y) = 2 x 3 y - 4.
Частная производная от f (x, y) тоже является функцией двух переменных и от нее вновь можно вычислять частные производные и так далее. Функция двух переменных имеет следующие вторые производные: - вторая производная от f (x, y) по х дважды
- вторая производная от f (x, y) по y дважды
- вторая смешанная производная от f (x, y) по x и по y
- вторая смешанная производная от f (x, y) по y и по х.
для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные производные второго порядка совпадают
Пример 2 ( продолжение примера 1). Вычислить вторые производные для функции
f (x, y) = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
Решение. Применяя правила дифференцирования, получим z xx¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x)х’ = 6 xy 2 - sin x, zyy ¢¢ = (2 x 3 y – 4)y’ = 2 x 3, zxy ¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x)y’ = 6 x 2 y = zyx ¢¢.
Теперь не представляет труда решение задачи о вычислении производных любого порядка. Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции
f (x, y) = 2 x 4 ּ ln y - cos(x + y 3) + x 3
В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих переменных имеем:
Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам. Пример 4. Пусть дана функция четырех переменных f(x,y,z,t)
f(x, y, z, t) = xz 3 t 2 + yz 2 cos(y 3 - t).
Решение. Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t
Глава 3. Дифференциалы функции двух переменных
Полным дифференциалом df (x, y) функции f (x, y) называется выражение
(3.1)
Напомним, что по определению для независимых переменных Δ x =d x, Δ y =d y. Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение
(3,2)
Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у
(3.3)
Следовательно
(3.4)
Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее аргументов, отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем приращения аргументов Δ х и Δ у, т.е.
D z = D f (x, y) = d f (x, y) + a(Δ x, Δ y) (3.5)
В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f (x 0, y0) известно, но неизвестно f (x 1, y 1) = f (x 0+D x, y 0+D y), то приближенное значение функции удобно вычислять при помощи полного дифференциала.
(3.6) Пример 1. Найдем полный дифференциал функции .
Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 497; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |