Кинематический анализ механизмов

Кинематический анализ механизмов решает задачи определения траекторий, линейных скоростей и ускорений точек (А, В, D) и угловых скоростей и ускорений звеньев механизма (ω₂, ε₂, ω₃, ε₃).

Определение положения звеньев и траекторий точек производится по кинематической схеме механизма. Схема механизма, на которой зафиксировано определенное положение входного звена и в связи с ним положения всех остальных звеньев, называется планом механизма.

Кинематическое исследование механизмов методом планов предусматривает изображение кинематических величин отрезками прямых в прямоугольных осях координат. С этой целью используются масштабные коэффициенты длины (μ_ℓ), скорости (μ_υ), ускорения (μ _а), времени (μ _t).

Масштабным коэффициентом μ называют отношение численного значения физической величины Д в единицах ее измерения к длине отрезка Х _Д в мм, изображающего эту величину на чертеже (плане). Тогда масштабные коэффициенты будут:

длины (или перемещений)
скорости
ускорения

2.2.1. Построение плана механизма

Построение плана механизмов II класса (рис. 2.2) выполняются простыми геометрическими приемами. Порядок построения совпадает с порядком присоединения к ведущему звену структурных групп Ассура, которыми образован данный механизм. Исходными данными для построения плана механизма являются: кинематическая схема; длины звеньев ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃; координаты неподвижных центров вращательных пар точки О, точки С (в дальнейшем т. О, т. С и аналогично для других точек механизма) или положение неподвижной направляющей поступательной пары ОВ.

Имея все необходимые данные для построения плана механизма, выбирают масштабный коэффициент длины μ_ℓ, величина которого согласуется с ГОСТ 2.302-68. Рекомендуемые значения μ_ℓ: 0,0001; 0,0002; (0,00025); 0,0005; 0,001; 0,002; (0,0025); 0,005; 0,01; 0,02; 0,025; 0,05 и т.д.

Наносятся на чертеж положения неподвижных центров вращения т. О; т. С и неподвижной направляющей ползуна. Положение на чертеже точек т. О; т. С выбирают так, чтобы план механизма не выходил за пределы отведенного для него места.

Изображается траектория движения т. А ведущего звена, представляющая собой окружность радиусом ℓ₁ с центром в точке т. О. Траектория т. А разбивается на 12 равноотстоящих друг от друга положения, которые нумеруются римскими цифрами (I, II, …, XII), и способом засечек определяются положения кинематических пар (т. В, т. D). Например, положение точки В _I (рис. 2.2, а), принадлежащей шатуну и ползуну, определяется как точка пересечения окружности радиусом ℓ₂ с центром в т. А _I и направления неподвижной направляющей ползуна. Положение точки В _I (рис. 2.2, б), принадлежащей шатуну и коромыслу, определяется как точка пересечения двух окружностей радиусом ℓ ₂ с центром в т. А _I и радиусом ℓ ₃ с центром в точке С. Положение точки D _I, принадлежащей кулисе, (рис. 2.2, в) определяется как точка пересечения окружности радиусом ℓ _сд с центром в точке С и прямой, проходящей через точки С и А _I, соответствующей положению кулисного камня в I положении кривошипа.

Рис. 2.2. Определение положений звеньев и
траекторий движения точек механизма

Для построения траектории движения определенной точки на каком-либо звене механизма, следует отметить эту точку на каждом из 12 зафиксированных положений рассматриваемого звена. Соединяя плавной кривой отмеченные точки, получают искомую траекторию движения (см. траекторию точки S ₂ на рис. 2.2, а).

План механизма в курсовом проекте по разделу "Теория механизмов и машин" дисциплины "Механика" строят от одного положения кривошипа, соответствующего заданному значению угла φ₁. По плану механизма графически определяются ход ползуна (рис. 2.2, а), углы качания коромысла (рис. 2.2, б) или кулисы (рис. 2.2, в).

2.2.2. Методика построения планов скоростей и ускорений

Кинематическое исследование механизмов методом планов скоростей основано на теореме о сложении движений, согласно которой движение любого звена плоского механизма представляется как сложное, состоящее из двух движений, называемых относительным и переносным [2]. Рассмотрим два случая.

2.1. Первый случай. Переносное движение поступательное, относительное – вращательное. В этом случае движение звена АВ (рис. 2.3, а), являющееся плоскопараллельным, можно представить состоящим из переносного поступательного движения вместе с одной из точек звена, выбранного за полюс, и относительного вращательного движения вокруг этого выбранного полюса. За полюс обычно выбирается точка звена, скорость которой известна и по величине и по направлению. Выбираем за полюс точку А, принадлежащую кривошипу, совершающему вращение вокруг неподвижной оси OZ (рис. 2.3, б). Скорость точки А определяется формулой

. (2.5)

Для скоростей любых других точек шатуна АВ можно написать векторное уравнение:

, (2.6)

где – абсолютная скорость точки В; – абсолютная скорость точки А (полюс); – скорость относительного вращательного движения точки В шатуна вокруг точки А (полюса).

	– вектор угловой скорости вращения т. А относительно оси ОZ; ОА – радиус вращения т. А.

Рис. 2.3. Построение плана скоростей механизма

а - схема механизма и распределение скоростей шатуна;
б - направление скоростей и ускорений при вращательном движении звена;
в - план скоростей

Ускорение точек А и В (рис. 2.4, а) определятся по формулам:

; (2.7)

, (2.8)

где – абсолютные ускорения точек В и А; – ускорение относительного вращательного движения точки В шатуна вокруг полюса точки А.

а)
б)
в)

Рис. 2.4. Построение плана ускорений механизма

Так как ускорение неизвестно ни по направлению, ни по величине, то ее целесообразно разложить на две составляющие, направление которых известно:

(2.9)

где – нормальная составляющая ускорения точки В шатуна в относительном движении (рис. 2.4, б); – касательная составляющая ускорения точки В шатуна в относительном движении (рис. 2.4, б).

2.2. Второй случай. Переносное движение вращательное, относительное – поступательное. Этот случай сложного движения имеет место при рассмотрении движения кулисного камня кривошипно-кулисного механизма (см. рис. 2.1). При движении звеньев 2, 3 (рис. 2.5, а), образующих поступательную кинематическую пару ω₂=ω₃, ε₂=ε₃. Для графического сложения скоростей двух точек А₂ и А₃, совпадающих в данное мгновение, но принадлежащих разным звеньям (ползуну А₂ и кулисе А₃) можно написать векторное уравнение

(2.10)

где – абсолютная скорость точки А ₃, принадлежащей кулисе 3; – абсолютная скорость точки А ₂, принадлежащей ползуну 2; – относительная скорость скольжения точки А ₃, направленная вдоль кулисы СА ₃.

Можно также записать

, (2.11)

где – относительная скорость скольжения точки А₂, направленная вдоль кулисы СА ₃ (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Построение плана скоростей кулисного механизма

Ускорение точки А ₃ (рис. 2.6, а) можно определить из векторного уравнения:

, (2.12)

где – абсолютное ускорение точки А ₃, принадлежащей кулисе 3; – абсолютное ускорение точки А ₂, принадлежащей ползуну 2; – относительное ускорение скольжения точки А ₃, направленное вдоль кулисы СА ₃; – кориолисово ускорение точки А ₃.

Кориолисово ускорение представляет собой векторное произведение

. (2.13)

Вектор направлен по оси вращения звена таким образом, что с ее конца направление вращения точки звена наблюдается происходящим против движения часовой стрелки (рис. 2.7, б). В плоском механизме векторы перпендикулярны, поэтому вектор кориолисова ускорения будет лежать в плоскости чертежа. Для определения направления следует вектор относительной скорости повернуть на 90⁰ по угловой скорости переносного движения кулисного камня (рис. 2.6, б).

Модуль кориолисова ускорения определяется по формуле:

. (2.14)

Рис. 2.6. Построение плана ускорений кулисного механизма

2.2.3. Планы скоростей и ускорений

Планами скоростей и ускорений механизма называют векторные изображения этих кинематических параметров, соответствующие заданному положению механизма, т.е. совокупности плоских пучков, лучи которых изображают абсолютные скорости или ускорения точек звеньев, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости или ускорения соответствующих точек звеньев при заданном положении механизма (рис. 2.3, в; 2.4, в; 2.5, б; 2.6, в). Векторы абсолютных скоростей или ускорений на каждом плане откладываются от одной точки – полюса, обозначаемого на плане скоростей буквой Р, а на плане ускорений - π.

Планы скоростей и ускорений механизма строятся после построения плана механизма. Построение начинается от входного звена (кривошипа), угловая скорость которого ω₁ принимается постоянной. Затем строятся планы скоростей и ускорений для отдельных групп Ассура в порядке их присоединения. Последовательность кинематического анализа обозначена в формуле строения механизма.

Методику построения планов скоростей и ускорений покажем на примере плоского четырехзвенного механизма II класса 2 порядка. Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм в положении, изображенном на рисунке 2.3,а.

Определим вначале модуль скорости точки А кривошипа, которая направлена перпендикулярно кривошипу (рис. 2.3, б)

.

Выбираем на свободном поле чертежа полюс плана скоростей точку Р, из которой откладываем перпендикулярно направлению ОА отрезок , изображающий на плане абсолютную скорость точки А. Конец отрезка обозначаем стрелкой, направленной от полюса к точке а (рис. 2.3, в).

Определим масштабный коэффициент плана скоростей

.

Использование метода планов покажем на примере определения скоростей точек В и Е, принадлежащих группе Ассура (2, 3). Для определения скорости точки В графически решим векторное уравнение:

.

Скорость точки А известна по модулю и направлению, поэтому в уравнении соответствующее слагаемое подчеркиваем двумя чертами . Скорость – скорость относительного вращательного движения точки В вокруг полюса А. Для этой скорости известно только направление (скорость направлена перпендикулярно направлению АВ), следовательно, в векторном уравнении это слагаемое подчеркиваем только одной чертой . Так как абсолютная скорость точки В направлена вдоль направляющей ползуна, то соответствующий вектор в уравнении также подчеркиваем одной чертой . Таким образом, в векторном уравнении для определения скорости точки В одно слагаемое известно по модулю и направлению, а векторы известны лишь по направлению.

Такое уравнение решается графическим способом следующим образом. Из точки " а " плана скоростей проводим направление, параллельное вектору относительной скорости , а из полюса Р направление, параллельное вектору абсолютной скорости . Точку пересечения направлений обозначим буквой " в ", а концы отрезков, изображающих на плане соответствующие скорости, – стрелками (рис. 2.3, в).

Из плана скоростей определяем модули скоростей

Зная относительную скорость точки В, определим угловую скорость звена 2:

.

Для нахождения скорости точки Е воспользуемся теоремой подобия скоростей: " Отрезки прямых линий, соединяющие точки на схеме механизма, и отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов относительных скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. Фигура на плане скоростей повернута относительно фигуры схемы на угол 90^о ".

Из теоремы подобия имеем:

, (2.15)

откуда .

Находим положение точки " е " на плане скоростей и соединяем ее с полюсом Р (рис. 2.3, в). Отрезок характеризует направление вектора скорости , модуль которой равен:

.

Построение плана ускорений механизма (рис. 2.4, в) проводим в аналогичной последовательности. Ускорение точки А определяем по формуле

.

Выбрав на свободном поле чертежа полюс π и величину отрезка , который будет изображать вектор (рис. 2.4, в), определим масштабный коэффициент ускорений

.

Затем определяем ускорения точек В и Е, принадлежащих группе Ассура (2-3).

Для определения ускорения точки В решаем графически векторное уравнение

.

Зная ω₂, определяем модуль нормальной составляющей относительного ускорения точки В

.

Касательную составляющую ускорения точки В в ее движении вокруг полюса А знаем по направлению (рис. 2.4, б).

Она направлена перпендикулярно АВ, поэтому данное слагаемое в уравнении подчеркиваем одной чертой . Абсолютное ускорение точки В направлено вдоль направляющей ползуна, поэтому в векторном уравнении подчеркиваем одной чертой . Таким образом, из четырех векторов, входящих в рассматриваемое векторное уравнение, два слагаемых и известны по модулю и по направлению, а два других слагаемых и – по направлению.

Из точки " а " плана ускорений откладываем параллельно АВ отрезок (рис. 2.4, в), изображающий в выбранном ранее масштабе ускорение . Длина отрезка определяется формулой

.

Из точки "n₂" проводим направление, параллельное вектору касательной составляющей относительного ускорения , а из полюса π направление, параллельное вектору абсолютного ускорения . Точку пересечения направлений обозначим буквой " в ", концы соответствующих отрезков () – стрелками (рис. 2.4, в).

Соединим точки " а " и " в " плана ускорений. Отрезок характеризует направление вектора относительного ускорения и его модуль:

.

Из плана ускорений определяем также модули ускорений, входящих в векторное уравнение , .

;

.

Зная ускорение , определим угловое ускорение ε₂ шатуна.

ε₂= .

Ускорение точки Е найдем по теореме подобия для ускорений: " Отрезки прямых линий, соединяющие данные точки на плане механизма, и отрезки прямых, соединяющие концы векторов полных ускорений, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры ".

Из теоремы подобия имеем

.

Находим из пропорции положение точки " е " на плане ускорений и соединим ее с полюсом π (рис. 2.4, в). Отрезок характеризует направление вектора ускорения , модуль которого с учетом выбранного масштаба ускорений определяется формулой

.

Векторные уравнения для построения планов скоростей и ускорений двухповодковых групп различных модификаций сведем в таблицу 2.2.

2.2.4. Построение кинематических диаграмм

При кинематическом исследовании механизмов часто бывает необходимо исследовать движение за полный цикл. Для этого аналитическое или графическое исследование перемещений, скоростей и ускорений ведется для ряда положений механизма, достаточно близко отстоящих друг от друга. Полученные значения кинематических величин могут быть сведены в таблицы или по полученным значениям этих величин могут быть построены графики, носящие названия кинематических диаграмм.

В зависимости от характера движения исследуемых звеньев или отдельных точек механизма могут быть построены и различные кинематические диаграммы. В практических задачах теории механизмов каждая кинематическая диаграмма обычно представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров звена: перемещения, скорости или ускорения точки звена исследуемого механизма в функции времени или перемещения ведущего звена механизма, т.е. в функции обобщенной координаты.

Таблица 2.2. Векторные уравнения для построения планов

скоростей и ускорений групп Ассура второго класса

Расчетная схема	Векторные уравнения	Направление векторов
1)	где
2)	где , .
3)	где , .

Например, если мы имеем кривошипно-ползунный механизм (рис. 2.1) то для перемещений S _в, скоростей υ_В и ускорений а _В точки В, как перемещающейся прямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величин от времени t или от обобщенной координаты φ₁,т.е. строить графическое изображение зависимостей

S _в = S _в (t), υ_В = υ_В (t), а _В = а _В (t), (2.16)

или

S _в = S _в (φ₁), υ_В = υ_В (φ₁), а _В = а _В (φ₁), (2.17)

В некоторых случаях может потребоваться построение и других зависимостей, например

υ_В = υ_В (S _в), или а _В = а _В (S _в).

Зависимости (2.17) могут быть получены из зависимостей (2.16) исключением из первой и второй, или из первой и третьей зависимостей параметра t.

Если исследованию подлежат угловые перемещения φ₂, угловые скорости ω₂ и угловые ускорения ε₂ шатуна 2, то можно построить графические изображения зависимостей

φ₂ = φ₂ (t), ω₂ = ω₂ (t), ε₂ = ε₂ (t),

или

φ₂ = φ₂ (φ₁), ω₂ = ω₂ (φ₁), ε₂ = ε₂ (φ₁),

а также зависимости

ω₂ = ω₂ (φ₂), или ε₂ = ε₂ (φ₂).

В качестве примера рассмотрим построение кинематических диаграмм S _в = S _в (t), υ_В = υ_В (t) и а _В = а _В (t) для перманентного движения точки В кривошипно-ползунного механизма, т.е. когда кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью ω₁ (рис. 2.1). По методике, изложенной выше, были определены положения точки В _I, В _II, В _III, В _IV и т.д., которые определяют положение центра точки В. Отсчет перемещений точки В удобно вести от крайнего левого положения ползуна (в этом необходимо изменить нумерацию положений точки В).

Далее выбираем начало координат и строим координатные оси (рис. 2.7). По оси абсцисс откладываем отрезок Х, соответствующий времени одного оборота кривошипа, и делим его на такое же число частей, как и окружность, описываемая точкой А кривошипа, соответствующие точки обозначаем 0, 1, 2, 3 и т.д. Из каждой точки деления на оси абсцисс проводим вертикаль, и на ней откладываем отрезки, пропорциональные перемещениям точки В. Вдоль оси ординат нужно откладывать отрезки, соответственно равные

Полученные точки соединяются плавной кривой, которая является кривой изменения расстояния точки В от крайнего левого положения ползуна.

Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью, то можно считать, что по оси абсцисс отложено не время t, а углы поворота φ₁.

По оси абсцисс масштабный коэффициент будет μ_t, если производится отсчет времени, или μ_φ, если производится отсчет углов поворота кривошипа:

,

где Т – время одного оборота кривошипа.

При построении диаграммы s = s _B(t) или s = φ_B(φ) масштабные коэффициенты следует выбирать так, чтобы не получить диаграммы слишком вытянутые вдоль одной из осей.

Для построения диаграмм υ_В = υ_В (t) и а _В = а _В (t) отрезки, изображающие на плане скоростей и ускорений скорость υ_В и ускорение а _В, откладывают на ординатах, проведенных в соответствующих точках 0, 1, 2, …, (рис. 2.7), учитывая при этом знак скорости υ_В и ускорения а _В. Если отрезки откладываются непосредственно с планов скоростей и ускорений, то масштабы ординат будут равны масштабам μ_υ и μ _а планов скоростей и ускорений. Эти же диаграммы будут и диаграммами скорости и ускорения в зависимости от угла поворота кривошипа.

На рассмотренных примерах исследуемая точка двигалась прямолинейно. Для точек, имеющих криволинейное движение, аналогично может быть произведено построение диаграммы угловых перемещений звена. По оси ординат в этом случае откладываются отрезки у ₁, у ₂ и т.д., соответственно пропорциональные углам ψ_I, ψ_II, ψ_III и т.д. поворота коромысла, определяемым из плана механизма (рис. 2.2). Масштабный коэффициент по оси ординат определяется по уравнению

,

где ψ_max – полный угол качания коромысла, или, иначе, угловой ход коромысла; y _max – максимальная ордината на диаграмме угловых перемещений.

Изложенная на примере кривошипно-ползунного механизма методика построения кинематических диаграмм может быть применена для любых плоских механизмов, как с низшими, так и с высшими кинематическими парами.

Рис. 2.7. Кинематические диаграммы перемещения,

скорости и ускорения

Дата добавления: 2014-11-18