Дополнительные задачи по математической статистике 1 страница

С целью повторения и закрепления теоретического мате­риала рекомендуется решить приведенные ниже задачи:

1. Найти эмпирическую функцию по данному распределе­нию выборки:

хi	2
ni

Ответ.

2. Построить полигоны частот и относительных частот по данному распределению выборки:

хi
ni

3. Построить гистограммы частот по данному распределению выборки:

Номер частичного интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала
	2-7
	7-12
	12-17
	17-22
	22-27

4. По выборке объема п = 51найдена смещенная D_в =5 генеральной дисперсии. Найти смещенную оценку генеральной дисперсии.

Ответ. .

5. В итоге четырех измерений некоторой физической вели­чины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: x ₁ = 8, х ₂= 9, х ₃ = 11, х ₄=12.
Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Ответ, а) ; б) ; .

6. Произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели одним прибором со средним квадратическим от­клонением случайных ошибок измерений σ = 40 м. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью 0,95, зная результаты измерений в метрах:

x ₁ = 1950, х ₂ =1980, х ₃=2000, х ₄=2030, х ₅=2050.

Ответ. 1960,8 < а < 2039,2.

7. Станок-автомат штампует валики. При выборке объема n = 100 вычислена выборочная средняя изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точностью δ, с которой выборочная
средняя оценивает математическое ожидание изготовляемых валиков, зная, что среднее квадратическое отклонение их размеров равно 2 мм.

Ответ. мм.

8. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборной средней будет равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности δ = 1,5.

Ответ. п = 179.

9. По данным 16независимых равноточных изменений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение S = 8. Оценить истинное значение а изме­ни, мой величины с надежностью γ = 0,999.

Ответ. 34,66 < а < 50,94.

10. По двум независимым выборкам объемом n ₁=21 и n ₂=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X) > D(Y).

Указание. F_кp (0,05;20;15) = 2,33.

Ответ. F_набл = 1,5. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

11. По двум независимым выборкам объемом n ₁=11 и п ₂=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости α = 0,05, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных диспер­сий при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X) > D(Y).

Указание. F_кp (0,05;10;13) = 2,67 F_кp (0,05;10;13)=2,67.

Ответ. F_набл = 3. Нулевая гипотеза отвергается.

12. По двум независимым выборкам объемом n = 30 и т = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние = 97 и = 94. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 120, D(Y) = 100.При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу: Н₀: M (X) = M (Y) о равенстве математических ожиданий при
конкурирующей гипотезе Н₁: M(X) ≠ M(Y).

Ответ. Z_набл =1; Z_кp =1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

13. По двум независимым выборкам объемом n = 50 и т = 40, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние = 370 и = 350. Генеральные
дисперсии известны: D(X) = 50, D(Y) = 120. При уровне значимости α = 0,01 проверить улевую гипотезу Н₀: M (X) = M (Y) о равенстве математических ожиданий при конкурирующей гипоте­зе Н₁: M(X) ≠ M(Y).

Ответ. Z_набл =10; Z_кp =2,58. Нулевая гипотеза отвергается.

14. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:

а)

Варианта xi	18,6	19,0	19,4	19,8	20,2	20,6
Частота ni

б)

Варианта xi
Частота ni

Ответ. а) , , б) , .

Пример 62. При измерении длины тел 100 экземпляров камского налима получены следующие результаты (в см.):

27,9	42,4	27,5	28,5	25,8	30,4	36,3
24,5	25,8	27,9	26,4	39,1	25,7	26,2
25,3	27,4	25,7	27,0	25,2	27,3	26,4
35,2	31,0	28,5	25,5	28,1	25,5	40,0
33,9	25,8	25,4	26,6	25,9	26,8	41,7
30,6	27,9	26,5	36,8	31,9	23,5	26,7
27,5	26,9	27,3	30,5	27,2	28,4	23,1
32,3	27,7	29,9	29,3	27,5	28,0	34,6
27,7	37,1	29,3	27,4	32,6	34,4	26,4
31,4	22,9	44,3	27,1	26,3	30,1	35,9
27,8	22,0	22,4	33,5	31,2	24,8	29,5
32,4	25,2	26,4	25,3	46,9	26,4	27,3
26,4	31,7	30,8	28,3	30,9	33,7	26,8
32,4	26,9	33,5	26,8	30,4	25,4	49,0
36,7	35,6

Составить статистическое распределение, найти размах варьирования, моду, медиану.

Так как длина тела - непрерывная величина и варианты имеют много различных значений, разобьем весь интервал, в ко­торый попали варианты на 10 разрядов и найдем шаг вариационного ряда , где k = 10, R - размах варьирования – разность между наибольшей и наименьшей вариантами R = 49 - 22 = 27.

Получили h = 27. Подсчитаем частоты попадания вариант в соответствующие разряды и запишем в таблицу 13.

Таблица 13

Разряды	Варианты разрядов	Частоты	Относитель­ные частоты
22,0 - 24,7	23,35		0,06
24,7-27,4	26,05		0,39
27,4-30,1	28,75		0,20
30,1-32,8	31,45		0,15
32,8-35,5	34,14		0,08
35,5-38,2	36,85		0,04
38,2-40,9	39,55		0,03
40,9-43,6	42,55		0,02
43,6-46,3	44,95		0,01
46,3-49,0	47,65		0,02
		n = 100	= 1

В качестве вариант принимаем середины разрядов. Получа­ем следующий вариационный ряд:

xi	23,35	26,05	28,75	31,45	34,15	36,85	39,55	42,25	44,95	47,65
wi	0,06	0,39	0,20	0,15	0,08	0,04	0,03	0,02	0,01	0,02

Найдем моду - варианту, имеющую наибольшую частоту

М₀ = 26,05.

Найдем медиану - варианту, делящую вариационный ряд на две равновеликие части, .

Если распределение симметрично, то М₀ = т₀. Большое различие между модой и медианой М₀ =26,05 и т₀ =35,5 свидетельствует о том, что рассматриваемое распределение не является симметричным.

Пример 63. Число позвонков налима задается следующей таблицей:

xi
wi

Найти выборочную и исправленную дисперсию.

Так как требуется вычисление только одной характеристи­ки, то для ее вычисления воспользуемся формулой (без составле­ния расчетно-контрольной таблицы).

,

Теперь получим

.

Для вычисления «исправленной» выборочной дисперсии воспользуемся формулой .

При n >30 разница между выборочной и «исправленной» выборочной дисперсиями мала.

Пример 64. Найти теоретические частоты по заданному ин­тервальному распределению выборки объема п = 200, предпола­гая, что генеральная совокупность распределена нормально (см. таблицу).

Номер интервала i	Границы интервала	Частота ni
xi	xi+1
			n = 200

Решение. 1. Найдем середины интервалов .

Например, .

Поступая аналогично с другими интервалами, получим по­следовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, т.е. следующую таблицу 14:

Таблица 14

ni

2. Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение рас­сматриваемого распределения: =12,63, σ ^* = 4,695.

3. Найдем интервалы (z_i; z_{i +l}), учитывая, что =12,63, σ ^* = 4,695, , для чего составим расчетную таблицу 15.

4. Найдем теоретические вероятности р_i и искомые теоре­тические частоты , для чего составим расчетную таблицу 16.

Таблица 15

Номер интервала i	Границы интервала	xi -	xi+1 -	Границы интервала
xi	xi+1
			-	-6,63		-1,41
			-6,63	-4,63	-1,41	-0,99
			-4,63	-2,63	-0,99	-0,56
			-2,63	-0,63	-0,156	-0,13
			-0,63	1,37	-0,13	0,29
			1,37	3,37	0,29	0,72
			3,37	5,37	0,72	1,14
			5,37	7,37	1,14	1,57
			7,37	-	1,57	∞

Таблица 16

Номер интервала i	Границы интервала	Ф (zi)	Ф (zi+1)	pi= Ф (zi+1)- Ф (zi)
zi	zi+1
	-∞	-1,41	-0,5	- 0,4207	0,0793	15,86
	-1,41	-0,99	- 0,4207	-0,3389	0,0818	16,36
	-0,99	-0,56	-0,3389	-0,2123	0,1266	25,32
	-0,56	-0,13	-0,2123	-0,0517	0,1606	32,16
	-0,13	0,29	-0,0517	0,1141	0,1658	33,16
	0,29	0,72	0,1141	0,2642	0,1501	30,02
	0,72	1,14	0,2642	0,3729	0,1087	21,74
	1,14	1,57	0,3729	0,4418	0,0689	13,78
	1,57	∞	0,4418	0,5	0,0582	11,64

Теоретические частоты найдены и находятся в четвертом столбце последней расчетной таблицы 16.

Пример 65. При взвешивании радужной форели получены следующие данные (в г): 34,00; 41,00; 44,80; 53,00; 61,70; 62,00; 67,50; 68,60; 69,91; 74,90. Требуется определить средний выборочный вес и найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 95%.

Для нахождения средней выборочной рассматриваемого признака используем формулу

.

Имеем n = 10, тогда .

Так как объем выборки мал, найдем исправленное среднее квадратичное отклонение

; далее получаем

.

Определим доверительный интервал для математического ожидания, используя неравенство

,

где t_γ - находим по таблице значений функции Лапласа, зная что γ=0,95, t₉₅ (10) = 2,26.

Имеем или 57,64-9,69 < а < 57,64+9,69, т.е. искомый доверительный интер­вал будет 47,95 < а < 67,33.

Пример 66. При уровне значимости 0,05 проверить гипоте­зу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты этого распределения:

эмпирические частоты
теоретические частоты

Решение. Вычислим χ² _набл составим расчетную таблицу 17.

Таблица 17

i	ni		ni-	(ni- )^2
			-1		0,07		12,07
			-4		0,38		34,38
			-8		0,78		66,78
					0,49		113,49
					1,07		95,07
			-7		1,32		24,32
					0,08		15,08
Σ	366'				χ^2 набл=7,19		373,19

Контроль: χ² _набл=7,19; .

Вычисления произведены правильно.

Учитывая, что число группы выборки (число различных ва­риант) S = 8, найдет число степеней свободы:

k = S -3=8-3=5.

По таблице критических точек распределения х², по уров­ню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = 5, находим критическую точку χ² _набл (0,05;5) = 11,1.

Так как χ² _набл < χ² _кр, то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Расхождение эмпирических и теоретических частот не­значимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с ги­потезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

II. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

2.1. Элементы теории вероятностей

Задача 1. Непосредственный подсчет вероятностей события

1.1. Числа натурального ряда 1₅ 2, 3,..., п расставлены слу­чайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены ря­дом и притом в порядке возрастания.

1.2. В ящике содержится сто деталей, среди которых 20 бра­кованных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей нет бракованных.

1.3. На склад поступило 20 холодильников, из которых во­семь изготовлены Минским заводом. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых холодильников два изготовлены Мин­ским заводом?

1.4. Группа студентов (10 юношей и 10 девушек) делится на две численно равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе юношей и девушек будет одинаковое количество.

1.5. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу че­тырех карт из полной колоды (52 карты) ровно две окажутся при­надлежащими трефовой масти?

1.6. Среди двадцати студентов группы, из которых семь де­вушек, разыгрывается десять книг. Найти вероятность того, что среди выигравших будет пять девушек.

1.7. На полке расставлены наудачу девять различных книг. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажут­ся рядом.

1.8. К экзамену по математике студент подготовил 60 во­просов из 70. Найти вероятность того, что студент ответит на три вопроса билета.

1.9. В корзине находятся 20 красных, 15 зеленых шаров. Найти вероятность того, что из четырех выбранных наудачу ша­ров будет три зеленых.

1.10. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований. Две сестры входят в состав различных команд. Какова вероятность того, что они в соревнованиях будут участвовать под одним и тем же номе­ром «12»?

1.11. Числа натурального ряда 1, 2, 3,..., n расставлены слу­чайно. Найти вероятность того, что числа 1, 2 и 3 расположены рядом и при том в порядке возрастания.

1.12. Из полного комплекта карт домино извлекается науда­чу одна карта. Какова вероятность того, что сумма очков на обеих половинах этой карты окажется равной шести?

1.13. В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Най­ти вероятность того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными.

1.14. В группе 20 студентов, среди которых 9 юношей. По списку наудачу выбирается 11 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется 7 девушек.

1.15. Брошены десять игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероят­ность того, что не выпало ни одной «шестёрки».

1.16. Из тридцати чисел (1, 2,..., 29, 30) случайно отбирает­ся десять. Найти вероятность того, что все числа нечетные.

1.17. В записанном телефонном номере 1, 3, 5 - 3, -... три последние цифры стерлись. Предполагая, что все комбинации грех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись различные цифры, отличные от 1, 3, 5.

1.18. На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Найти вероятность того, что по­лучится слово "БИРЖА".

1.19. В суде работают шестеро мужчин и четыре женщины. Для участия в некотором процессе выбирают семь человек. Найти вероятность того, что среди выбранных будет три женщины.

1.20. Брошены десять игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероят­ность того, что выпало ровно три «шестёрки».

1.21. Из тридцати чисел (1, 2,..., 29, 30) случайно отбирает­ся десять. Найти вероятность того, что ровно пять чисел делится натри.

1.22. В записанном телефонном номере 1, 3, 5 - 3 -... три последние цифры стерлись. Предполагая, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись одинаковые цифры.

1.23. Брошены две игральные кости. Какова вероятность то­го, что в сумме не менее десяти очков?

1.24. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется пять команд экстракласса. Найти вероятность того, что все ко­манды экстракласса попадут в одну и ту же группу.

Дата добавления: 2014-11-20