Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

 

Литература: [3, №№3547 – 3551; 5, гл. 2, §§ 2.4; 6, гл.2, §3].

Если разбить область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, то ΔVi = Δxi Δyi Δzi, что после предельного перехода дает элемент объема в декартовой системе координат dV=dxdydz. Спроектируем тело цилиндрической поверхностью на плоскость. Цилиндр касается тела вдоль некоторой линии L, которая разделяет ограничивающую поверхность z=f(x,y) на нижнюю zl=fl(x,y) («входящая» поверхность) и верхнюю z2=f2(x,y) («выходящая» поверхность) части (рис. 6.3.1). Вычислим интеграл от функции f(x,y,z) вдоль оси OZ от точки А до точки В. Тогда координаты z точки меняются от zl=fl(x,y) до z2=f2(x,y):

Очевидно, здесь х и у считаются постоянными. Итак, тройной интеграл может быть представлен в виде

 

 
 

 

 


Если внешний двойной интеграл по области Dxy привести к повторному в соответствии с разд. 6.2, то получим

(6.3.2)

где y1(x), y2(x) - уравнения «входящих» и «выходящих» линий области Dxy.

Если область V правильная в направлении оси ОХ, то, проектируя тело на плоскость OYZ в область Dyz и записывая уравнения «входящей» и «выходящей» поверхностей в виде xl=xl(y,z); x2=x2(y,z), получим

(6.3.3)

Аналогично для правильной области V в направлении оси OY

(6.3.4)

Если поверхность, ограничивающая тело, состоит из разных поверхностей, то область V разбивают так, чтобы в пределах каждой области поверхности задавались одним аналитическим выражением.

 

Пример 6.3.1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле различными способами: V: {z2≥x2+y2; 2-z≥x2+y2}.

Решение. Данная область является правильной в направлении всех осей (рис. 6.3.2).

1. Пусть тело проектируется на плоскость OXY в виде фигуры Dxy, тогда «входящая» поверхность – конус z2 = x2 + y2, а «выходящая» - параболоид z = 2 - x2 - y2. Область Dxy - круг. Исключая из уравнений поверхностей x2 + y2 получаем z2 +z – 2 = 0 → z1,2 = = (1, -2).



Линия пересечения поверхностей данной задачи лежит в плоскости z1 = 1и представляет собой окружность x2 + y2 = 1.

Тогда

2. Пусть область проектируется на плоскость OYZ в фигуру Dyz (см. рис. 6.3.2). «Входящая» и «выходящая» поверхности на промежутке 0≤z≤2 состоят из поверхностей конуса и параболоида.

 
 

 


Разобьем область V плоскостью z = 1 на V1 и V2, которые проектируются на плоскость OYZ в виде фигуры D(1)yz и D(2)yz соответственно. Тогда I = Iv1 + Iv2. Для области V1 «входящая» поверхность - (конус), «выходящая» - (конус). Тогда

Для области V2 «входящая» поверхность - (параболоид), «выходящая» - (параболоид)

 

Пример 6.3.2. Вычислить интеграл по области V, ограниченной поверхностями (конус) и y=h (плоскость) (рис. 6.3.3).

 
 

 

 


Решение. Область проектируется на плоскость OXZ в круг , так как в сечении y=h:

Тогда «входящая» поверхность в направлении оси OY - конус , а «выходящая» - плоскость y=h. Получаем последовательно:

 





Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 2486; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.