Тема 2. Законы динамики. Закон сохранения импульса

2.1. Динамика материальной точки и поступательного движения

твердого тела

Импульс материальной точки: Импульс системы материальных точек:

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики матеpиальной точки): Изменение импульса материальной точки: Δ = (t)dt.

Главный вектор внешних сил: = _i

Основной закон динамики поступательного движения твердого тела:

Радиус-вектор и координаты центра масс: x _c= ; y_c = ; z_c = , где Закон движения центра масс:

Третий закон Ньютона:

Закон сохранения импульса для замкнутой системы: где n -число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Пример 3. Автомобиль массой m = 1000 кг движется вверх по наклонной плоскости с уклоном α = 0,1, развивая на пути S = 200 м скорость v_к = 54 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,05. Определить силу тяги двигателя

Условие:

m =1000 кг;

S=200 м;

a=0,1 м/с²;

μ=0,05;

v₀ =0;

v_к =54км/ч = 15м/с;

F -?

Решение. Автомобиль движется равноускоренно, причем начальная скорость равна нулю. Выберем ось х, расположенную вдоль наклонной плоскости, ось у – перпендикулярно ей (рис. 3).

На автомобиль действует четыре силы: сила тяжести F_Т =m g, сила реакции опоры N, сила тяги F и сила трения F_ТР. Запишем основной закон динамики:

.

Это уравнение в проекциях на оси координат

на ось х ma = F – mg sina - F_TP,

на ось у 0 = N – mg cosa,

F_TP = μ N.

Выразим из этих уравнений силу тяги F

F = mg sina + μmg cosa + ma.

Ускорение на этом участке равно:

a = (v_k ² - v₀²)/(2s) = v_k²/(2s).

Найдем силу тяги двигателя на этом участке:

F = mg sinα + μmg cosα + = m(g sin α + μg cos α + )=

1000(0.98+0,50+0,56) = 2043 Н

ЗАДАНИЕ 3. СИЛЫ ПРИРОДЫ. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

3.1 Фундаментальные взаимодействия в природе. Упругие свойства тел.

Сила гравитационного взаимодействия: где m₁, m₂ – массы взаимодействующих материальных точек, r - расстояние между телами, G= 6,67·10^-11Н·м² ·кг^-2- гравитационная постоянная.

Сила тяжести: где -ускорение свободного падения; на поверхности Земли: = 9,81 м·с^-2, где M и R - масса и радиус Земли; на высоте h над поверхностью Земли: на глубине h от поверхности Земли:

Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли: Первая космическая скорость на высоте h от поверхности Земли: ; Вторая космическая скорость:  

Вес тела (сила реакции опоры): P = m(g a) «+» - ускорение направлено вверх; «—» - ускорение направлено вниз. Невесомость: P = m(g- a) = 0; g=a Коэффициент перегрузки:

Закон Гука для продольного упругого растяжения (сжатия): F = k Δ l; σ =εE где k – коэффициент жесткости, x – смещение, Δl=l-l₀ – абсолютное удлинение , l_o, l - начальная и конечная длина образца; σ =F/s – нормальное напряжение; s – площадь поперечного сечения образца; ε = Δl/l₀ – относительное удлинение; E - модуль Юнга или модуль упругости.

Сила трения: F = μ N, где μ – κоэффициент трения, N - сила реакции опоры

Сила сопротивления при движении тела в жидкости и газе соответственно при малых и больших скоростях: F= - β₁ v; F = - β₂ v², где β₁, β₂ - коэффициенты сопротивления движению, v - относительная скорость движения. В случае турбулентного движения при не очень больших скоростях лобовое сопротивление: , где С_х – коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и числа Рейнольдса, S- площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную скорости потока, ρ - плотность среды. Число Рейнольдса где l - величина, характеризующая линейные размеры обтекаемого тела

3.2 Механика сплошных сред

Гидростатическое давление столба жидкости: P = ρgh, где ρ – плотность жидкости. Закон Архимеда: F_a= ρgV, где F_a– выталкивающая сила; V - объем вытесненной жидкости

Уравнение неразрывности струи: Sv = const, где S- площадь поперечного сечения трубки тока; v –скорость движения жидкости

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости: ρv²/2 + ρgh + P = const, где P – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; v-скорость жидкости для этого сечения; ρv²/ 2 - динамическое давление жидкости этогo сечения; h -высота на которой располагается сечение; ρgh - гидростатическое давление, ρ – плотность жидкости

Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде: , где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде

Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости: где η - коэффициент динамической вязкости жидкости; - градиент скорости; S - площадь соприкасающихся слоев

Сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде (формула Стокса): F = - 6πηrv, где r -радиус шарика; v - скорость его движения

Пример 4. На горизонтальной платформе шахтной клети стоит человек массой m = 60 кг. Определить силу давления человека на платформу: 1) при ее подъеме с ускорением

а₁ = 3 м/с²; 2) при равномерном подъеме и спуске; 3) при спуске с ускорением а₃ = 9,8 м/с².

Условие:

m=60 кг;

а₁=3 м/с²;

v₂=const, a₂=0;

а₃=9,8 м/с;

F₁-? F₂ -? F₃ -?

Решение. На человека, стоящего на платформе шахтной клети действуют две силы: сила тяжести m g и сила реакции опоры N. Согласно второму закону Ньютона:

. (1)

Согласно третьему закону Ньютона сила давления человека на платформу равна силе реакции опоры:

N N = F (2)

1. Согласно рис. 2 запишем уравнение (1) в проекции на ось У

ma₁ = N₁ – mg

Учитывая (2) получим

F₁ = N₁ = m (g + a₁), F₁ = 783 H.

2. При равномерном движении шахтной клети а₂ = 0 и, следовательно, сила давления человeка на платформу равна силе тяжести: F₂ = N₂ = mg.

3. При спуске платформы с ускорением, направленным вниз уравнение движения платформы имеет вид ma₃ = mg – N₃.

Откуда сила давления человека на платформу: F₃ = N₃ = =m(g – a₃).

Учитывая, что а₃ = g имеем F₃ = 0.

Следоватeльно, человек не давит на платформу.

Пример 5. Каким был бы период обращения ИСЗ на круговой орбите, если бы он был удален от поверхности Земли на расстояние, равное земному радиусу (R = 6400 км).

Условие: h = R = 6370 км;

Т -?

Решение. Период обращения ИСЗ по круговой орбите равен: .

Для определения скорости спутника учтем, что при его движении по круговой орбите на спутник действует только сила притяжения Земли F_t, сообщающая ему нормальное ускорение:

F_t = F_n;

где G – гравитационная постоянная, m – масса спутника, M – масса Земли.

Отсюда скорость спутника равна

Учитывая, что

где g – ускорение силы тяжести на поверхности Земли, получаем

Подставляя это значение скорости в формулу периода, найдем, что

= 14360 c = 3 ч 59 мин.

Пример 6. Стальная прoвoлока сечением S= 3 мм² под действием растягивающей силы, равной F = 4 ^. 10⁴ Н имеет длинy L₁ = 2 м. Определить абсолютное удлинение проволоки при увеличении растягивающей силы на F₁ = 10⁴ Н. Модуль Юнга стали Е =2 ^. 10¹¹ Па.

Условие:

Е = 2·10¹¹ Па;

S = 3 мм² =3·10^{-6 м2};

L₁ = 2 м;

F = 4·10⁴ Н;

F₁ =1,0·10⁴ Н;

ΔL₂ -?

Решение. Для того чтобы найти абсолютное удлинение проволоки при увеличенной растягивающей силе, необходимо узнать ее первоначальную длину L. Из закона Гука

F = εE = E(L₁ – L)S/L

находим L = EL₁S/(F +ES).

При увеличении растягивающей силы на величину F₁

F + F₁ = EΔL₂S/L.

Откуда ΔL₂ = (F + F₁)L/ES.

Заменив L выражением, записанным выше, получаем

ΔL₂ = (F + F₁)L₁/(F + ES).

Подставив данные, находим: ΔL₂ = 0, 16 м.

Дата добавления: 2014-11-20