Доверительные интервалы для зависимой переменной

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных (предсказание среднего значения), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения).

Предсказание среднего значения. Пусть построено уравнение парной регрессии , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание переменной Y при X = x₀. В данном случае значение является оценкой . Тогда естественным является вопрос, как сильно может уклониться модельное среднее значение , рассчитанное по эмпирическому уравнению регрессии, от соответствующего условного математического ожидания. Ответ на этот вопрос дается на основе интервальных оценок, построенных с заданной надежностью при любом конкретном значении объясняющей переменной.

Доверительный интервал для имеет вид:

(1.6)

Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной.

На практике иногда более важно знать дисперсию Y, чем ее средние значения или доверительные интервалы для условных математических ожиданий.

Пусть нас интересует некоторое возможное значение переменной Y при определенном значении объясняющей переменной X. Предсказанное по уравнению регрессии значение Y при X = x₀ составляет . Тогда интервал

определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100α% точек наблюдений при X = x₀. Заметим, что данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания (на рис. 6 границы этого интервала отмечены пунктирной линией).

Проводя анализ построенных интервалов, несложно заметить, что наиболее узкими они будут при X = x₀. По мере удаления от среднего значения доверительные интервалы расширяются (см. рис. 7). Поэтому необходимо достаточно осторожно экстраполировать полученные результаты на прогнозные области. С другой стороны, с ростом числа наблюдений n эти интервалы сужаются к линии регрессии при .

Рис. 7

Дата добавления: 2014-11-20