Анализ качества выборочного уравнения множественной линейной регрессии

Как и в случае парной линейной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t -статистики , имеющей в данной ситуации распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν = n ‒ m ‒ 1 (n ‒ объем выборки). При требуемом уровне значимости α наблюдаемое значение t -статистики сравнивается с критической точкой распределения Стьюдента. Если , то коэффициент b_i считается статистически значимым. В противном случае () коэффициент b_i считается статистически незначимым (статистически близким к нулю). Это означает, что фактор X_i фактически линейно не связан с зависимой переменной Y. Его наличие среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения. Последовательный отсев несущественных факторов составляет основу многошагового регрессионного анализа. Однако по коэффициентам регрессии нельзя определить, какой из факторов оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную, так как коэффициенты регрессии между собой несопоставимы (они измерены разными единицами). Различия в единицах измерения факторов устраняют с помощью частных коэффициентов эластичности, рассчитываемые по формуле

, (2.2)

где ‒ среднее значение фактора. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется зависимая переменная с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном значении других факторов.

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации

, который в общем случае рассчитывается по формуле

.

Суть данного коэффициента ‒ доля общего разброса значений зависимой переменной, объясненного уравнением регрессии. Как отмечалось ранее . Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y. Поэтому естественно желание построить регрессию с наибольшим . Для множественной регрессии коэффициент детерминации является неубывающей функцией числа объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение . Для компенсации такого увеличения вводится скорректированный коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы:

.

Если увеличение доли объясненной регрессии при добавлении переменной мало, то скорректированный коэффициент детерминации может уменьшиться, следовательно, добавлять переменную нецелесообразно. Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t -статистика для этой переменной по модулю больше единицы.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяется гипотеза

,

.

Для проверки данной гипотезы используется статистика:

,

которая, при справедливости и выполнении предпосылок МНК, имеет распределение Фишера (F -распределение) с , степенями свободы. Также как и в случае парной регрессии вычисленный критерий F сравнивается с критическим значением F _кр..

Дата добавления: 2014-11-20