Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: Аксонометрические проекции




 

 

Рисунок 11

 

 

Возьмем точку М и прямоугольную декартовую систему координат Oxyz (рис.11). |OEX|=|OEY|=|OEZ| - натуральный масштаб. Основание перпендикуляра, опущенного из точки М на координатную плоскость Oxy, определяет прямоугольную проекцию М2 точки

 

Рис 2.1
М. Прямая проведенная через точку М2 перпендикулярно к Ox, пересекает ее в точке Мx. Тогда: x=|ОМx| ¤ |ОЕx| - абсцисса; y =|MxM2| ¤ |OEy| - ордината; z=|M2M| ¤ |OEz| - аппликата; OMxM2M

–натуральная координатная ломаная точки M. Точку М вместе с натуральной системой координат Oxyz спроецируем в направлении s на аксонометрическую плоскость проекций . Параллельную проекцию O¢x¢y¢z¢ натуральной системы координат Oxyz называют аксонометрической системой равны между собой); O¢M¢x2 - аксонометрическая координатная ломаная; М¢ - аксонометрическая и М¢2 – вторичная проекция точки М.

На основании свойства 4 имеем, что (x2)|| (О¢Е¢y) и (2)|| (О¢Е¢z). Аксонометрические координаты: x¢=|О¢М¢x| ¤ |О¢Е¢x|; y¢ =|M¢x2| ¤ |O¢E¢y|; z¢=|M¢2M¢| ¤ |O¢E¢z|. На основании свойства 5 можно утверждать, что натуральные и аксонометрические координаты точки (численно) равны между собой x= x¢, y= y¢, z= z¢.

Чертеж, состоящий из аксонометрической М¢ и вторичной М¢2 проекции точки, является обратимым. Чтобы доказать это, покажем построение точки М. Пусть имеются натуральная Oxyz и аксонометрическая O¢x¢y¢z¢ системы координат, аксонометрическая М¢ и вторичная М¢2 проекции точки М. Через точку М¢2 проводим прямую, параллельную оси O¢y¢, до пересечения с осью O¢x¢ в точке x. Через точку x проводим прямую, параллельную направлению проецирования s, до пересечения с осью Ox в точке Mx. Прямые, проведенные через точку Mx параллельно Oy и через точку М¢2 параллельно s, пересекаются в точке М2. Наконец, прямые, проведенные через точку М2 параллельно Oz и через точку М¢ параллельно s, пересекаются в точке М.

 

Основная теорема аксонометрии.

 

В 1853 году К.Польке (1810-1896) доказал основную теорему параллельной аксонометрии: три отрезка О¢Е¢x , О¢Е¢y, О ¢Е¢z произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из точки О¢ под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков ОЕx, ОЕy, и ОЕz, отложенных на прямоугольных осях координат от начала О. На основании этой теоремы можно совершенно произвольно выбрать систему аксонометрических осей и масштабов.

Рассмотрим построение аксонометрической проекции (сокращенно: аксонометрии) точки А(4,2,5), заданной координатами: x=4, y=2, z=5. На основании теоремы Польке проводим три луча O¢x¢, O¢y¢, O¢z¢, которые образуют между собой произвольные углы, и отложим, начиная от точки три произвольных отрезка – аксонометрические масштабы О¢Е¢x , О¢Е¢y, О ¢Е¢z (рис. 12). На ось O¢x¢ отложим четыре отрезка, равные | О¢Е¢x |. Через полученную точку А¢x проводим прямую параллельно оси O¢y¢ и отложим на эту прямую 2 отрезка, равные | О¢Е¢y |. Через полученную вторичную проекцию А¢2 проводим прямую параллельно оси O¢z¢ и отложив 5 отрезков, равных |О ¢Е¢z |, получим искомую аксонометрию А¢ точки А.

Рис.2.2
Если заданы аксонометрия А¢ и вторичная проекция А¢2, то можно определить координаты точки А. Для этого через точку А¢2 проводим прямую, параллельную оси O¢y¢, до пересечения с осью O¢x¢ в точке А¢x. Отрезок О¢А¢x делим на отрезок О¢Е¢x, тогда получим абсциссу точки А. Аналогично y =|А¢xА¢2| ¤ |O¢E¢y| и z=|А¢2А¢| ¤ |O¢E¢z|.

Рисунок 12

Прямая определяется двумя точками, принадлежащими ей. В аксонометрии прямая задается аксонометрической и вторичной проекциями, интересующей нас части (отрезка этой прямой). Если прямая принадлежит координатной плоскости Oxy, то аксонометрическая и вторичная проекции совпадают. Если прямая принадлежит координатной плоскости Oxz, то ее вторичная проекция совпадает с осью O¢x¢.

Пример 1. Требуется построить аксонометрическую проекцию сечения пирамиды SABCD плоскостью, определяемой

точкой и прямой h Ì пл. Oxy (рис. 13).

Решение. Если плоское сечение пирамиды спроецировать из вершины S на плоскость основания, то между плоскостями сечения и основания устанавливается коллинеация, которая изображается на плоскость аксонометрических проекций в гомологию. Гомология определена центром , осью и парой соответственных точек . Определяем точку , соответствующую точке В¢ (см. рис.14). Продолжим отрезок А¢В¢ до пересечения с осью гомологии в точке . Прямая, соединяющая две точки и , пересекается с ребром в точке . Аналогично, строятся точки и . Четырехугольник является аксонометрической проекцией искомого сечения.

Пример 2. Требуется построить аксонометрическую проекцию сечения треугольной призмы плоскостью, определяемой точкой и прямой h Ì пл. Oxy (рис3.4).

 

Рисунок 13 Рисунок 14  

 

Решение. Если плоское сечение призмы спроецировать на плоскость основания в направлении боковых ребер, то между плоскостями сечения и основания устанавливается родство. Родство определено осью и парой родственных точек . Задача сводится к построению точек и , родственных, соответственно, точкам и . . Треугольник является аксонометрической проекцией сечения призмы.

Коэффициенты искажений. Виды аксонометрических проекций. Основная формула аксонометрии

Отношение аксонометрического масштаба к натуральному масштабу называется коэффициентом искажения. Различают коэффициенты искажений: - по оси Ох; - по оси Оу; - по оси Оz.

Рисунок 15

 

По направлению проецирования аксонометрия делится на прямоугольную и косоугольную .

По соотношению между коэффициентами искажений аксонометрия делится на изометрию , диметрию , или , или и триметрию .

Не теряя общности, можно считать,

 

что плоскость аксонометрических проекций совпадает с координатной плоскостью (рис. 11). Спроецируем натуральную систему координат в направлении на плоскость . При этом поэтому и . Тогда точка проецируется в точку . - прямоугольный треугольник и (,Ù ) – угол между направлением проецирования и плоскостью проекций. Вычислим сумму квадратов коэффициентов искажений:

; ; .

.

Для прямоугольной аксонометрии .

 

Прямоугольная проекция плоского угла.

Теорема о прямоугольной проекции прямого угла

Пусть сторона треугольника АВС лежит в плоскости (рис. 16). . Сторона (АВ) наклонена к плоскости под углом , а сторона (ВС) – под углом . Точка - прямоугольная проекция вершины В, а точки А¢ и С¢ совпадают с соответствующими точками А и С. - прямоугольная проекция треугольника АВС, угол - прямоугольная проекция угла .

 

Рисунок 16

Известно, что . Пусть задан прямой угол (т.е. ), который проецируется в прямой угол (т.е. ). Тогда из вышеприведенной формулы получим следующее равенство , которое имеет место только тогда, когда или . Это значит, что хотя бы одна сторона рассматриваемого угла должна располагаться параллельно плоскости проекции. Отсюда теорема:

Для того чтобы прямой угол проецировался прямоугольно в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая сторона – не перпендикулярна к последней.

Основная литература: 1.7.1 (24…34,57….60),1.7.1 (17…23),

Дополнительная литература:

1.7.17 (24…35, 41…44), 1.7.10.(25…30, 46…50), 1.7.11. (_15….44), 1.7.17 (300…315), 1.7.10 (203…212), 1.7.11 (234…258).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 451; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.