КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Розклад вектора за базисом
Нехай дано вектори . Вектор , де – числа, називається лінійною комбінацією векторів , а числа – коефіцієнтами цієї комбінації. Якщо вектор представлений у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто , то кажуть, що вектор розкладений за векторами . Базисом на площині назвемо два ненульових, неколінеарних вектори цієї площини, взятих в певному порядку. Нехай на площині заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор цієї площини можна єдиним чином розкласти за базисними векторами . Розглянемо можливі випадки: 1) Вектор колінеарний одному з базисних векторів, наприклад, . Тоді за властивостями добутку вектора на число існує таке число , що або і такий розклад єдиний. 2) Вектор не колінеарний ні одному з базисних векторів. Зобразимо три вектори , , (рис. 5.5). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де і колінеарні відповідно векторам , а отже існують такі числа і , що , і . (5.1) Коефіцієнти і розкладу (5.1) називаються координатами вектора в базисі і записують (, ). Таким чином, кожному вектору на площині в заданому базисі відповідає єдина пара чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор на площині. Базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих в певному порядку. Нехай в просторі заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за базисними векторами . Розглянемо можливі випадки: 1) Вектор і два базисних вектори, наприклад, компланарні. Як показано вище, або . 2) Вектор не компланарний з жодними двома з базисних векторів. Зобразимо вектори , , , (рис. 5.6). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де колінеарний , а компланарний з векторами . Тоді існують такі числа , , , що вектор єдиним чином можна представити у вигляді , а . Отже
. (5.2) Коефіцієнти , , розкладу (5.2) називаються координатами вектора в базисі і записують (, , ). Таким чином, кожному вектору простору в заданому базисі відповідає єдина трійка чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор. Відмітимо, що всі координати нульового вектора рівні нулю. Якщо вектор , то . Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори одиничні і попарно ортогональні.
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 597; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |