Электронная теория проводимости

Электрический ток, возникающий в твердом теле под действием электрического поля, представляет собой направленный поток частиц — носителей заряда, который накладывается на хаотическое движение, совершаемое носителями заряда в отсутствие электрического поля. Носителями заряда служат электроны, ионы, а у полупроводников — электроны и дырки. Хаотическое движение носителей заряда в твердом теле аналогично движению молекул газа.

Различие заключается в том, что длина свободного пробега молекул газа определяется их взаимными столкновениями, а в твердом теле электроны рассеиваются на тепловых колебаниях решетки, примесных атомах и дефектах.

На длине свободного пробега электроны движутся прямолинейно и равномерно (равноускоренно). Скорости электронов могут иметь различные числовые значения, но суммарный вектор всех скоростей движения электронов равен нулю. В металлах скорости электронов почти не зависят от температуры, а в полупроводниках, как и в газе, скорости носителей растут с увеличением температуры. К полупроводникам поэтому можно применить статистику Максвелла — Больцмана, а для металлов следует использовать статистику Ферми — Дирака.

При приложении внешнего электрического поля Е электроны приобретают некоторую направленную против поля скорость. Величина этой направленной скорости — скорости дрейфа υ _др — будет определять силу электрического тока.

Скорость дрейфа на несколько порядков меньше скорости хаотического теплового движения. Например, для германия при комнатной температуре тепловая скорость имеет величину 2,5∙10⁵ м/с, а скорость дрейфа — около 4∙10¹ м/с. Следовательно, электроны под дей­ствием приложенного поля, не переставая двигаться хаотически, смещаются в направлении против поля (рис. 1.1). Даже при сравнимых значениях тепловой и дрейфовой скоростей, выбранных для наглядности на рисунке, где υ _др лишь в несколько раз меньше, чем υ _т, видно, что результирующая скорость практически не изменилась.

υ _т ‒ скорость теплового хаотического движения; υ _др ‒ скорость дрейфа электрона, которую он

приобретает на длине свободного пробега; υ‒ результирующая скорость

Рисунок 1.1—Возникновение электрического тока в твердом теле под действием

электрического поля Электрическое поле действует на электроны с силой Е_е равной Е_е = е ∙ Е, где е — заряд электрона, Е — напряженность поля. Ускорение, приобретаемое электронами на длине свободного пробега,

a = F/m = e-E/m. (1.1)

Средняя скорость дрейфа на длине свободного пробега

»_ср = ½ (е∙Е/m)т, (1.2)

где т — масса носителя заряда, η — время свободного пробега. Обозначим

е-т/(2m) = /1, (1.3)

где μ — подвижность электронов; тогда υ _ср = μ∙Е, откуда

p = v _ср / E. (1.4)

Подвижность электрона — это отношение средней установившейся скорости переме­щения электрона в направлении электрического поля к напряженности этого поля.

Каждый электрон, движущийся в электрическом поле с дрейфовой скоростью υ _ср создает электрический ток е ∙ υ _ср. Плотность тока в кристалле с концентрацией электронов п:

J = e∙v _ср ∙n = e∙n ∙ /i∙E. (1.5)

Электропроводность твердого тела связана с плотностью тока законом Ома в дифферен­циальной форме

J =aE, (1.6)

где ζ — удельная электрическая проводимост.

Тогда для удельной электрической проводимости ζ имеем

(r=enfi. (1.7)

При выводе формулы электропроводности было сделано допущение, что на длине свободного пробега электрон движется свободно и на него не действуют никакие силы, кроме внешнего электрического поля. В действительности, в кристалле существует сильное внутреннее электрическое поле, созданное частицами, образующими кристаллическую решетку, и значительно превышающее по величине приложенное электрическое поле.

В решетке электрон все время связан с каким-нибудь атомом. Решетка состоит из одинаковых частиц, и энергия электрона не зависит от того, с каким именно атомом он связан; электрон может свободно перемещаться по кристаллу. При этом изменяется энергия связи электрона с атомом, что приводит к изменению потенциальной и кинетической энергии электрона. С помощью квантовой теории можно учесть влияние внутренних полей на движение электрона в кристалле, приписав электрону некоторую массу, отличную от массы свободного электрона; ее называют эффективной массой. С помощью этой величины можно учитывать взаимодействие электрона с решеткой при его движении по кристаллу под действием внешнего электрического поля.

Эффективная масса электрона в кристалле — это масса такого свободного электрона, который под действием внешней силы приобрел бы такое же ускорение, как и электрон в кристалле под действием такой же силы. Эффективная масса не определяет ни инерционности, ни гравитационных свойств электрона. Она может быть большей, меньшей или равной массе свободного электрона в кристалле. Она может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Эффективная масса зависит от температуры, давления, характера и концентрации примесей, от направления движения электрона. Эффективная масса носителей заряда обратно пропорциональна ширине зоны, в которой они находятся.

В металлах валентная зона и зона проводимости перекрываются, поэтому при отсутствии электрического поля электроны хаотически передвигаются внутри кристаллической решетки со средней скоростью, величина которой может достигать 10⁶ м/с. На своем пути электроны испытывают многочисленные взаимодействия с электронами, фононами и де­фектами решетки. Электрон‒электронные столкновения играют незначительную роль. Столкновения электронов с фононами и дефектами определяют электрическое сопротивление металла.

При всех видах столкновений сохраняются энергия и импульсы электронов и фононов. При высоких значениях температуры доминирующими являются столкновения с фононами, при низких— с дефектами. Рассеяние электронов определяет длину их свободного пробега. В чистых металлах длина свободного пробега электрона ограничивается тепловыми колебаниями атомов, поэтому чем выше температура, тем меньше длина свободного пробега. В металлах с большой концентрацией примесей и в сплавах рассеяние электронов происходит на примесях и в этом случае длина свободного пробега электронов от температуры практически не зависит.

Длина свободного пробега электронов в металле определяется волновыми свойствами электронов. Длина волны электронов при скорости 10⁶ м/с составляет

Х = h/(mv) ≈ 10 ⁹ м,

что примерно в десять раз больше межатомных расстояний и размера атомов кристалла. Электронная волна не может рассеиваться на препятствиях, меньших длины волны, поэтому в идеальной кристаллической решетке длина свободного пробега электронов ограничивалась бы только размерами кристалла, т. е. была бы равна бесконечности, и такой металл обладал бы электропроводностью, также равной бесконечности. Реальные кристаллы из-за рассеяния электронов обладают конечным сопротивлением.

Рассеяние электронов — прямо пропорционально поперечному сечению того объема, который занят колеблющимся атомом. Это поперечное сечение, в свою очередь, можно считать прямо пропорциональным квадрату амплитуды колебаний атома, а квадрат амплитуды колебаний, определяющий энергию атомных колебаний, растет с ростом температуры по ли­нейному закону. Подвижность электрона в металле определяется выражением

fi=el/(mv). (1.8)

Так как длина свободного пробега l ~ 1/ Т, а скорость υ от температуры не зависит, то μ ~1/Т.

Концентрация электронов в металле не зависит от температуры, следовательно, электропроводность металлов ζ=А/Т обратно пропорциональна, а удельное сопротивление ρ = ВТ прямо пропорционально температуре, где А и В — коэффициенты пропорциональности. Поэтому для металлов в определенном диапазоне температур справедливо следующее выражение (рис.2)

р(T) =р ₀ (1 +аТ), (1.9)

где ρ₀ ‒ величина удельного сопротивления при определенной температуре Т₀ (например Т₀ = 0°C), ρ(T) ‒ удельное сопротивление, определяемое при температуре T, α ‒ термический коэффициент сопротивления, равный примерно 1/273.

При низких температурах можно пренебречь рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки и учитывать только рассеяние на дефектах. В этом случае рассеяние не зависит от температуры, поэтому удельное сопротивление имеет постоянное значение (рис. 1.2), именуемое остаточным.

У ряда металлов и сплавов при некоторой критической температуре наблюдается полное исчезновение электрического сопротивления; такое явление называют сверхпроводимостью. Рассмотрим природу этого явления.

Рисунок 1.2—Зависимость удельного сопротивления металла от температуры

Явление сверхпроводимости возникает в тех случаях, когда электроны в металле притягиваются друг к другу. Притяжение электронов возможно только в среде, содержащей электроны и ионы, причем притягиваться могут те электроны, которые принимают участие в электропроводности. Если такое притяжение имеет место, то электроны с противоположными направлениями импульса и спина образуют пары, называемые куперовскими, по имени ученого Купера, показавшего, что образование таких пар является энергетически выгодным.

У куперовской пары спин равен нулю. Согласно теории сверхтекучести, частицы с нулевым спином или со спином, равным целому числу, могут при достаточно низкой температуре переходить в сверхтекучее состояние — течь без внутреннего трения. Жидкость в сверхтекучем состоянии теряет вязкость. Сверхтекучесть электронного газа и есть сверхпроводимость. Переход в сверхпроводящее состояние означает, что куперовские пары образовали конденсат — своеобразное состояние связанных электронов. Конденсат перемещается без трения, обтекая препятствия, в том числе дефекты кристаллической решетки. В металле при сверхпроводящем состоянии отсутствует электрическое сопротивление.

Притяжение между электронами, приводящее к возникновению сверхпроводимости, обусловлено взаимодействием электронов с тепловыми колебаниями решетки — фононами. Электроны в твердом теле могут при определенных условиях поглощать, рассеивать или порождать фононы. Рассмотрим два электрона. Между ними может произойти такой процесс: один электрон испускает фонон, другой его поглощает. В результате электроны воздействуют друг на друга, причем взаимодействие, вызванное обменом фононами, в определенных условиях соответствует притяжению.

С электростатической точки зрения явление притяжения электронов объясняется следующим образом. Электрон, движущийся в решетке, притягивает положительные ионы остова кристаллической решетки, сближая их. В результате вдоль пути электрона образуется избыточный положительный заряд, к которому притягиваются другие электроны. Таким

образом, возникновение силы притяжения между электронами обусловлено поляризацией решетки.

Между электронами действует также кулоновское отталкивание. При преобладании притяжения над отталкиванием возникает сверхпроводящее состояние.

Из-за слабого притяжения расстояние между спаренными электронами оказывается равным нескольким тысячам межатомных расстояний в металле. Электроны каждой пары движутся в среде, содержащей другие пары. Движение всех пар согласовано; электронные волны, описывающие их движение, имеют одинаковые длины и фазы. Движение всех электронных пар можно рассматривать как движение одной электронной волны, которая не рассеивается решеткой, поскольку решетка сама принимала участие в образовании этой волны. Поэтому решетка не оказывает сопротивления движению электронов. Таким образом, для возникновения сверхпроводящего состояния необходимо возникновение сил притяжения между электронами.

Величина критической температуры возникновения сверхпроводящего состояния ограничивается энергией фононов. Критическую температуру, согласно теории Бардина — Купера — Шриффера, можно определить следующим образом:

Т_кp = Θexp(-l/g), (1.11)

где Θ (тэта) — температура Дебая; ее смысл таков: k ∙ Θ — та область энергий вблизи энергии Ферми (энергетическая щель), в которой электроны притягиваются друг к другу. Обычно Θ ≈ 100÷500 К; g — постоянная, пропорциональная силе притяжения между электронами.

Величина ее не превышает ½ для обычных сверхпроводников, у которых связывание электронов в пары осуществляется вследствие поляризации решетки.

Пользуясь приведенными значениями, можно подсчитать, что T _кр не может быть больше 20—50 К. Пока это чисто теоретический предел; для известных в настоящее время сверхпроводников критическая температура не превышает 20 К. Повышение температуры разрывает куперовские пары и сверхпроводимость исчезает.

Плотность тока в сверхпроводящем проводнике определяется концентрацией связанных электронов и их дрейфовой скоростью:

J св = e ∙ n _св∙ υ _св. (1.12)

При большой плотности тока растет кинетическая энергия электронов. Если ее значение превысит значение энергии связи куперовской пары, то сверхпроводящее состояние нарушится.

Критическое значение тока сверхпроводимости составляет 500—1000 А/мм².

Возможности применения сверхпроводников огромны. Так сверхпроводящие сверхсильные магниты применяются в самом крупном в мире ускорителе элементарных частиц, построенном на границе Швецарии и Франции..

Сверхпроводящий ток является незатухающим из-за отсутствия сопротивления, что позволяет использовать его в идеальных запоминающих устройствах ЭВМ, причем скорость считывания сверхпроводящих устройств значительно превышает возможности человеческого мозга. Сверхпроводники используются в качестве переключающих устройств, работающих с очень высокой скоростью при малых затратах мощности (криотроны). На основе явления сверх­проводимости созданы болометры для измерения радиации в инфракрасной области спектра, сверхпроводящие СВЧ-резонаторы с добротностью до 10¹⁰, СВЧ-линии задержки и коаксиальные кабели, практически не имеющие потерь, сверхпроводящие магнитометры, индикаторы сверхмалых напряжений и токов, датчики, измеряющие значения напряжений до

10-¹⁶ В.

В полупроводниках при абсолютном нуле валентная зона заполнена электронами, а зона проводимости свободна. Если приложить электрическое поле, то электропроводность будет отсутствовать. С повышением температуры электроны начнут переходить из валентной зоны в зону проводимости. Для переходов электронам требуется дополнительная энергия, равная ширине запрещенной зоны, которую электроны приобретают от тепловых колебаний решетки. Вероятность того, что под воздействием температуры Т электрон получит необходимую энергию, пропорциональна ехр[-E_з/(kT)]. Эта вероятность увеличивается с ростом

температуры. Среднее значение энергии тепловых колебаний при комнатной температуре не превышает 0,04эВ, но вследствие флуктуаций колебаний в решетке некоторая часть электронов приобретает энергию, равную или большую ширины запрещенной зоны. Переход электронов в зону проводимости сопровождается освобождением энергетических уровней в валентной зоне, и приложение внешнего поля к полупроводнику вызывает появление электропроводности.

Рассмотрим эти переходы электронов на модели кристаллической решетки (рис. 1.3). В узлах решетки полупроводника находятся нейтральные атомы, связь между которыми осуществляется электронными парами. При абсолютном нуле все электроны участ-вуют в ковалентной связи. Для разрыва этой связи электрон должен приобрести дополнительную энергию, равную энергии связи. Электрон, разорвавший связь, становится свободным и может принимать участие в электропроводности.

При разрыве ковалентной связи происходит частичная ионизация атомов полу-проводника, вокруг которых вращался электрон. Образовавшийся при этом положительный заряд приписывается отсутствующей ковалентной связи. Незаполненную валентную связь, которая проявляет себя как положительный заряд, равный заряду электрона, называют дыркой проводимости или просто дыркой. Дырку может заполнить любой ближайший электрон, участвующий в ковалентной связи, н дырка переместится на его место. В отсутствие электрического поля дырки, так же как электроны, движутся по кристаллу хаотически.

а б

а — кристаллическая решетка; б — зонная диаграмма Рисунок 1.3—Электропроводность собственных полупроводников

Итак, переход электрона из валентной зоны в зону проводимости сопровождается образованием свободных электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне с равными концентрациями.

Возникновение в результате энергетического воздействия в полупроводнике пары электрон проводимости— дырка проводимости называется генерацией пары носителей заряда.

Одновременно с процессом генерации идет обратный процесс возвращения электронов из зоны проводимости в валентную зону. Этот процесс приводит к исчезновению свободных электронов и дырок. Нейтрализацию пары электрон проводимости — дырка проводимости называют рекомбинацией носителей заряда. В состоянии термодинамического равновесия скорости генерации и рекомбинации равны. Это значит, что количество электронов, переходящих, в единицу времени из валентной зоны в зону проводимости, равно коли-честву электронов, возвращающихся на энергетические уровни валентной зоны. В результате строго определенная концентрация носителей заряда соответствует каждой данной температуре полупроводника. Носители заряда, возникновение которых явилось следствием тепловых колебаний кристаллической решетки полупроводника в условиях термодинамического равновесия, называют равновесными носителями заряда.

Под действием приложенного поля движение электронов и дырок в кристалле становится упорядоченным, и электропроводность полупроводника является суммой электронной и дырочной составляющих:

ζ_i = ζ _э + ζ _д (1.13)

Концентрации электронов и дырок одинаковы: щ = щ = п₀, а подвижности различны, так как подвижность зависит от эффективной массы. Поэтому

(П = е ∙ n₀ (^_э +^_д). (1.14)

Как уже указывалось, существует следующая зависимость концентрации свободных электронов в полупроводнике от температуры

n (Т) = n ₀ ехр(-Е _з /2kT)). (1.15)

Поскольку проводимость пропорциональна концентрации свободных носителей заряда, аналогичную формулу можно записать и для проводимости полупроводника

<7(T) = ff₀ ехр (-Е _з / 2kT) (1.14)

Ln(cr)

У= Е _з / 2к

О \!Т

Рисунок 1.4—Зависимость логарифма проводимости беспримесного полупроводника от

температуры

Характерная для данного полупроводника величина Е_з называется шириной запрещенной зоны и численно равна энергии, которую небходимо сообщить валентному электрону для его перехода в зону проводимости, так называемой энергии активации.

Этот закон подтверждается экспериментально (рис. 1.4). Тангенс наклона прямой линии на этом рисунке связан с шириной запрещенной зоны беспримесного полупроводника.

Итак, ток в полупроводнике формируется свободными электронами и дырками, концентрации которых обозначим как п _э и щ. Тогда плотность тока в полупроводнике, помещенном в поле Е, может быть записана как:

J = e∙v _э ∙ n _э + e ∙»_д ∙ n д = (n_э ∙ ц_э + n_д ∙ ц_д) e ∙ Е). (1.14)

Обычно подвижность электронов значительно выше, чем подвижность дырок, поскольку перемещение дырки — более сложный процесс, связанный с перескоками многих электронов.

Введение в полупроводник примесей даже при малых их концентрациях очень сильно изменяют его проводимость. Такие примеси приводят к появлению избыточного количества или свободных электронов, или дырок. Их называют соответственно донорными примесями (отдающими электроны) или акцепторными примесями (забирающими электроны).

Получившийся после добавления донорных примесей полупроводник называют донорным полупроводником. Его также называют электронным (так как в нем имеется избыток свободных электронов) или же полупроводником n-типа (от слова negative — отрицательный).

Получившийся после добавления акцепторных примесей полупроводник называют акцепторным полупроводником. Его также называют дырочным (так как в нем — избыток положительных свободных носителей заряда — свободных дырок) или же полупроводником p-типа (от слова positive — положительный).

Донорные полупроводники — получаются при добавлении в полупроводник элементов, от которых легко "отрывается" электрон. Например, если к четырехвалентному кремнию (или германию) добавить пятивалентный мышьяк (или фосфор), то последний использует свои 4 валентных электрона для создания 4 валентных связей в кристаллической решетке, а пятый электрон окажется "лишним", такой электрон легко отрывается от атома и начинает относительно свободно перемещаться по кристаллу. В таком случае в кристалле образуется избыток свободных электронов. Не следует забывать и об образовании пар электрон - дырка, как это рассматривалось в случае беспримесного полупроводника, однако для этого требуется значительно большая энергия, и поэтому вероятность такого процесса при комнатных температурах достаточно мала. Электроны в донорном полупроводнике принято называть основными носителями заряда, а дырки - неосновными носителями заряда.

На языке зонной теории появление "легко отрывающихся" электронов соответствует появлению в запрещенной зоне донорных уровней вблизи нижнего края зоны проводимости (рис. 1.5). Электрону для перехода в зону проводимости с такого уровня требуется меньше энергии, чем для перехода из валентной зоны (рис. 1.5), чему соответствует уход электрона из обычной ковалентной связи.

ЖЧ"

Е_з г

&.*.1.£-&-

л __ •

Дата добавления: 2014-12-08