Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение I порядка

(1)

называется линейным, если отношение содержит переменную y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде

, (2)

здесь и произвольные функции аргумента x. В частности, если , то уравнение

(3)

называется линейным однородным (или уравнением без правой части). Уравнение (3) легко решается разделением переменных, и общее решение имеет вид

. (4)

«Потерянное» при разделении переменных решение входит в полученную совокупность решений при С= 0.

Если , то уравнение (2) называется неоднородным линейным уравнением (или линейным уравнением с правой частью). Линейное уравнение решается методом вариации постоянных

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде , это можно сделать, так как x= 0не является его решением. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением.

1). Выпишем линейное однородное уравнение, соответствующее исходному уравнению: .

2). Разделим переменные в случае .

Решим последнее дифференциальное уравнение , . В итоге получаем решение однородного линейного уравнения: .

3). Выпишем вид общего решения , где – неизвестная функция. Вычислим производную . Подставим в исходное уравнение , .

В итоге получаем

Иногда уравнение, не являющееся линейным относительно неизвестной функции , становится линейным, если в нем поменять ролями переменные y и x, а именно взять за аргумент y, а за неизвестную функцию x, то есть . Линейное уравнение такого типа можно записать в виде . (5)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно неизвестной функции . Допустим, что неизвестной является функция , уравнение можно переписать следующим образом:

, .

Полученное уравнение является линейным относительно функции .

Решим линейное однородное уравнение или

.

Выпишем вид общего решения линейного однородного уравнения тогда

.

Интегрируя по частям, найдем .

.

Задание 5. Теория вероятностей.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 8 синих и 12 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стреляет по мишени, разделённой на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую, либо во вторую область.

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

4. У сборщика имеются 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

5. Среди 1000 новорождённых оказалось 512 мальчиков. Найти вероятность рождения мальчиков.

6. В урне находятся 7 белых и 5 чёрных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется чёрным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся чёрными.

7. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – белые?

8. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – чёрные?

9. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

10. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Указания к заданию 5.

Дата добавления: 2014-12-10